Probabilidad e independencia

Question

Estoy tratando de resolver una determinada probabilidad de que se trate.

Tengo una feria de 10 lados de morir, en cuyos lados son etiquetados de 1 a 10. Estoy tratando de encontrar la probabilidad de obtener un múltiplo de 5 o un número impar.

Puedo encontrar la probabilidad como:

P(múltiplo de 5) O P(número impar)=P(múltiplo de 5) + P(número impar)-[P(múltiplo de 5) Y P(número impar)]=2/10+5/10-[(2/10)(5/10)]=6/10 (cual es la respuesta correcta)

Aviso que he utilizado el supuesto de que rodar un múltiplo de 5 es independiente de sacar un número impar, ya que, esencialmente, con la multiplicación de las probabilidades para obtener la respuesta. Sin embargo, rodando un múltiplo de 5 CONSISTE en poner a rodar un número impar en un caso, es decir, un laminado de 5.

Así que conseguí la respuesta correcta por casualidad? Puede la multiplicación de la regla también se utiliza para describir que no son independientes de los eventos a veces?

Answer 1

No, no es una casualidad, en el sentido de que $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ es la definición de independencia de $A$$B$, por lo que si se sostiene, como lo hace aquí, $A$ $B$ son necesariamente independientes. En otro sentido, fue un golpe de suerte, en que no podría haber sido obvio que los eventos multiple of 5 y odd son independientes: esto depende del hecho de que no son exactamente el número impar como no-impares múltiplos de 5 entre 1 y 10.

Así que usted tiene suerte, esta vez: los dos eventos son realmente independientes. ¿Qué pasaría si a usted le ha preguntado acerca de un 9 colindado mueren? O un 10 colindado mueren, pero con los acontecimientos multiple of 3 y even?

En general, progresiones aritméticas como $(na+c)_{n\in\Bbb{N}}$ $(nb+d)_{n\in\Bbb{n}},$ por ejemplo, las probabilidades al $a=c=1$ o múltiplos de 5 al $b=5,c=0,$ son "independientes" en $\Bbb{N}$ en el sentido de natural de la densidad de siempre $a$ $b$ son relativamente primos. Para traer a este hecho hasta el finito reino de dados con $k$ lados, necesitamos $k$ a ser un múltiplo común de a$a$$b$. De hecho, el 10 es un múltiplo común de 2 y 5, y que indica un mayor razón por la que usted tuvo suerte con este cálculo.

Answer 2

Puede parecer extraño, pero en realidad los dos eventos de rodar un múltiplo $5$ y sacar un número impar son independientes.

Para ver esto, vamos a $A$ ser el caso de que un múltiplo de $5$ es lanzado, y $B$ ser el caso de que sea impar el número es hecho rodar. ¿Qué es $P(A)$? ¿Qué es $P(A|B)$? Puesto que los dos números son iguales, se deduce que el resultado de $B$ no afecta a la de $A$, por lo que los eventos son independientes.

Mientras los eventos de $A$ $B$ son independientes, entonces la $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$, por lo que calculó correctamente. La única pieza que faltaba está demostrando que $A$ $B$ son en realidad independientes.

Por supuesto, la forma más sencilla de resolver este problema es sólo la lista de posibilidades. $6$ de la $10$ lados son números impares, o en múltiplos de $5$, por lo que la probabilidad es $6/10$.

Por último, debo mencionar que la multiplicación de la regla sólo se mantiene para eventos independientes, porque de una manera para definir la independencia es por la fórmula $P(A\text{ and }B)=P(A)P(B).$

Answer 3

Deje $A$ ser el evento de que ruede un número impar, y $B$ el evento de que ruede un múltiplo de $5$, Los eventos $A$ $B$ son independientes. Para él está claro que la probabilidad de $A\cap B$$\frac{1}{10}$, y el producto $\Pr(A)\Pr(B)$$\frac{1}{10}$.

Sin embargo, considere la posibilidad de una $9$colindado muere. Entonces la probabilidad de obtener un múltiplo de $5$ y un número impar es $\frac{1}{9}$. La probabilidad de obtener un $5$$\frac{1}{9}$, y la probabilidad de que se extraña es $\frac{5}{9}$. El producto es $\frac{5}{81}$, que es bastante diferente de $\frac{1}{9}$.

Por lo tanto el $10$colindado mueren es peculiar de este problema. En general, no hay ninguna razón para esperar que la independencia. Un cálculo basado en la multiplicación es, en principio, incompleto, a menos que una prueba de la independencia. Y para la mayoría de los problemas de este tipo general, no tenemos independencia.

Answer 4

Su P (múltiplo de 5) + P (impar) - P (múltiplo de 5 e impar). No es mutuamente excluyente. Los dos eventos pueden suceder al mismo tiempo, como el hecho de que puede llover cuando hace sol. 2/10 + 5/10 - 1/10 = 3/5

Answer 5

En realidad, cuando a través de un dado justo, cada resultado se distribuye de manera idéntica de manera independiente, por lo que no es necesario asumir que el múltiplo de 5 es independiente de sacar un número impar. Se dice que dos eventos son dependientes si afectan la ocurrencia o no de otro evento. En su caso ambos eventos son independientes.