Deje $G$ ser un grupo finito cuyo centro $Z(G)$ es trivial. Supongamos que el grupo de $\text{Out}(G)$ exterior de automorfismos es trivial.
Pregunta: ¿siempre existe un $f \in \text{Aut}(G)$ $g \in G$ tal que $g$ $f(g)$ no se encuentran en la misma clase conjugacy?
Esta pregunta puede reformularse de la siguiente manera. El automorphism grupo $\text{Aut}(G)$ actúa sobre el conjunto de las clases conjugacy de $G$. Como el interior de la automorphism grupo $\text{Inn}(G)$ actos trivialmente en este conjunto, la acción desciende al cociente $\text{Out}(G)$. Con los mismos supuestos como el anterior, entonces la pregunta se convierte en:
Pregunta: Es la acción de $\text{Out}(G)$ en el conjunto de las clases conjugacy siempre que no sea trivial?
Comentario: me restringir a mí mismo para el caso de que $G$ es sin centro, porque este caso es de principal importancia para mí. No estoy seguro de si hay una respuesta fácil o contraejemplo a la pregunta en el caso de que no asumimos $G$ sin puntos.
Lo que he conseguido hasta ahora: la pregunta es positivo para el grupo simétrico $S_{n}$ $n$ cartas para todos los $n \geq 3$. De hecho, sólo para $n = 6$ existe un exterior automorphism y este automorphism de los intercambiadores de la clase conjugacy de un ciclo de tipo de ciclo $(ab)$ y la clase conjugacy de un ciclo de tipo de ciclo $(cd)(ef)(gh)$. Aquí, $a \neq b$ e las $c, d, e, f, g$ $h$ son distintos.
