En varios probabilidad de libros de texto que he encontrado lo que equivale a la siguiente argumento:
Sea a un evento en algunos probabilístico experimento. Sea p=P(a) ser el la probabilidad de este evento que ocurre en los n ensayos. Deje $M$ ser el fracción de tiempo $A$ se produce en $n$ ensayos:
$M = \frac{X_1+...+X_n}{n}$
donde $X_i$ es de 1 cada vez que se produce, y 0 en caso contrario; en particular, $E[X_i]=p$. De propiedades simples de la expectativa y de la varianza:
$E[M] = \frac{E[X_1+...+X_n]}{n} = \frac{E[X_1]+...+E[X_n]}{n} = \frac{pn}{n} = p$ $Var[M] = \frac{Var[X_1+...+X_n]}{n^2} = \frac{Var[X_1]+...+Var[X_n]}{n^2} = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}$
Así que, usando la desigualdad de Chebyshev:
$P(|M-p|>\epsilon) \le \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}$
Y así:
$\lim_{n \to \infty} P(|M-p|) = 0$
Muchas veces se dice que esta derivación enlaces de la teoría matemática de la probabilidad con el concepto de frecuencia, pero creo que no es cierto y la derivación es inútil o redundante, para considerar el siguiente: si usted procede únicamente a partir de los axiomas matemáticos, el resultado es cierto en un sentido abstracto, pero no hay ninguna razón lógica por la particular cantidades que tienen las interpretaciones que le damos a ellos de forma intuitiva, por ejemplo, no es posible interpretar M como una frecuencia de ocurrencia, sin añadir un axioma de especificación de lo que P(a) es, al menos, esta es la forma en que se parece a mí.
Por otro lado, si usted elige la frecuencia de la interpretación de la probabilidad, el momento en que se puede decir "sea p=P(a) la probabilidad de que" el mismo momento en que se hace una suposición de la existencia de un único número p que es el límite de la frecuencia relativa de ocurrencia del evento A, entonces, ¿qué cantidades de colocar:
$\lim_{n \to \infty} P(|M-p|) = 0$
entre los axiomas.
Idealmente me gustaría saber lo que alguien familiarizado con la lógica matemática o de investigación en fundamentos de las matemáticas, donde estas cuestiones son examinadas piensa acerca de esto, mientras que en áreas como la teoría de conjuntos no son volúmenes escritos sobre cuestiones de este tipo, en la teoría de la probabilidad, mientras que hay un montón de libros filosóficos acerca de las diversas formas de interpretar la probabilidad, no he encontrado una sola obra en la lógica matemática de la asignatura, además de la prueba de Kolmogorov del Grundbegriffe. Mis preguntas son las siguientes:
Es mi razonamiento correcto?
¿Hay alguna razón se me olvida para esta derivación a ser importante o interesante en algún sentido?
Hay obras que examinan la teoría de la probabilidad desde el punto de vista de la lógica matemática, donde los problemas de este tipo se hizo más claro?
Para referencia, libros de texto son muy misterioso acerca de esto, o evitar por completo de motivación o de interpretar el resultado. Jim Pitman de la "Probabilidad" en la página 101 esto se llama un "matemático confirmación de nuestra idea intuitiva de probabilidad como límite de largo plazo de las secuencias". En Bertsekas y Tsitskilis, página 270, M se llama empírica de la frecuencia, y se dice que "en términos generales, esto nos permite concluir que empírica de frecuencias son fieles estimaciones de p. Como alternativa, este es un paso hacia la interpretación de la probabilidad p, así como la frecuencia de ocurrencia de A.". Mark Kac en la "Probabilidad y temas relacionados en las ciencias físicas", página 4, escribe:
En realidad, el teorema dice muy poco. Todo lo que dice, en de hecho, es el siguiente: Si la probabilidad de que un determinado evento fue calculado de acuerdo con ciertas suposiciones y reglas, entonces el probabilidad (de nuevo, calcula, de acuerdo a los mismos supuestos y reglas) que la frecuencia con la que el evento ocurra en un gran asamblea de los ensayos difieren significativamente de forma que el valor calculado la probabilidad es baja.
En las notas para una teoría de la probabilidad por supuesto Rota y Baclawski, la interpretación que parece más similar a lo que he escrito arriba:
Esto es esencialmente psicológica teorema, para no proporcionar la información necesaria para aplicaciones concretas. El Teorema del Límite Central es mucho más útil y, de hecho, la ley de los grandes los números es una consecuencia del Teorema del Límite Central. Salimos de la prueba como un ejercicio.
En cualquier caso, la ley de los grandes números es puramente teorema matemático. En orden para que tenga sentido debemos tener ya los conceptos de probabilidad, variables aleatorias, medias, varianzas, etc. No podemos utilizar esto como una definición de la probabilidad. Pero ni siquiera podemos usar la ley de grandes números como una justificación de la frecuentista punto de vista. Este punto de vista dice que las probabilidades de representar físicamente cantidad mensurable (al menos en principio). Pero no hay ningún concepto de un físico "medición" correspondiente al concepto matemático el límite:
lim n->inf (X_1+...+X_n)/n
La relación entre la física de los experimentos y la teoría de la la probabilidad es mucho más sutil que el punto de vista frecuentista tendría uno que creemos.
Finalmente, Grinstead y Snell escribir lo que también parece muy razonable, pero no muy precisa:
La Ley de los Grandes Números, que es un teorema demostrado acerca de la modelo matemático de la probabilidad, muestra que este modelo es consistente con la frecuencia de la interpretación de la probabilidad.
