Cómo demostrar que no existe $\xi\in(a,b)$ $f'(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}$

Question

Deje $f(x)$ ser continua en $[a,b]$, diferenciable en a $(a,b)$, y con un poco de $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=0$. Mostrar: existe $\xi\in(a,b)$ tal que $$ f'(\xi)=\dfrac{f(\xi)-f(a)}{b} $$

Mi idea: sé que esto: Vamos a $$F(x)=e^{-\dfrac{x}{b-a}}[f(x)-f(a)]$$ $$\Longrightarrow F'(x)=-\dfrac{1}{b-a}e^{-\dfrac{x}{b-a}}[f(x)-f(a)]+e^{-\dfrac{x}{b-a}}f'(x)$$ $$\Longrightarrow F'(c)=e^{-\dfrac{c}{b-a}}[f'(c)-\dfrac{f(c)-f(a)}{b-a}]=-\dfrac{F(c)}{b-a}$$

Si $f'(x)$ es continua, puedo demostrar este problema,

Pero este problema de la condición no puede tener $f'(x)$ han continuo, de modo que no se puede continuar

Answer 1

${\bf Lemma}$. Deje $g:[0,1]\to \Bbb{R}$ ser una función continua que se ha derivado en $(0,1)$. Supongamos que $g(0)=0$, y que no es una $\theta\in(0,1)$$g'(\theta)=0$. Entonces, hay $\xi\in(0,1)$ $g'(\xi)=g(\xi)$.

${\it Proof.}$ considera $h:[0,1]\to\Bbb{R}$ definido por $h(x)=g(x)e^{-x}$. Se consideran dos casos:

1. Caso 1: Hay un $\beta\in(0,1]$$g(\beta)=0$. De ello se desprende que $h(0)=h(\beta)$, y usando el Teorema de Rolle, existe un $\xi\in(0,1)$$h'(\xi)=0$, lo que equivale a $g'(\xi)=g(\xi)$.
2. Caso 2: $g(x)\ne0$ por cada $x\in(0,1]$. Por lo tanto, por el Teorema del Valor Intermedio $g$ mantiene una constante de signo en el intervalo de $ (0,1]$. La sustitución de $g$ $-g$ si es necesario, podemos suponer que $g(x)>0$ por cada $x$$(0,1]$. Ahora, de $h'(c)=-g(c)e^{-c}<0$ llegamos a la conclusión de que no $\alpha\in (0,c)$ tal que $$ \forall\,x\in[\alpha,c),\quad\frac{h(x)-h(c)}{x-c}<0 $$ que es $h(\alpha)>h(c)$. Ahora la función de $x\mapsto h(x)-h(c)$ cambia de signo en el intervalo de $[0,\alpha]$, por Lo que hay un $\gamma\in(0,\alpha)$ tal que $h(\gamma)=h(c)$. De nuevo, usando el Teorema de Rolle, existe un $\xi\in(\gamma,c)$$h'(\xi)=0$, lo que equivale a $g'(\xi)=g(\xi)$.

Esto concluye la prueba del Lema.$\qquad\square$

Ahora, el caso general de la propuesta de pregunta sigue aplicando el lema para la función de $g(x)=f(a+x(b-a))-f(a)$.

Answer 2

Considere la función $$ g(x)=\exp\left(\frac{b-x}{b}\right)\Big[f(x)-f(a)\Big]\etiqueta{1} $$ Entonces $$ g'(x)=-\frac1{b-a}\exp\left(\frac{b-x}{b}\right)\Big[f(x)-f(a)-(b-a)f'(x)\Big]\etiqueta{2} $$ Si $f'(c)=0$, luego $$ g(a)=0\etiqueta{3} $$ y $$ g(c)=\exp\left(\frac{b, c}{b}\right)\Big[f(c)-f(a)\Big]\etiqueta{4} $$ y $$ g'(c)=-\frac1{b-a}\exp\left(\frac{b, c}{b}\right)\Big[f(c)-f(a)\Big]\etiqueta{5} $$ Si $g(c)=0$ no es un porcentaje ( $\xi\in(a,c)$ , de modo que $g'(\xi)=0$.

Si $g(c)\gt0$,$g'(c)\lt0$. Por lo tanto, $g$ tiene un máximo en$\xi\in(a,c)$, de modo que $g'(\xi)=0$.

Si $g(c)\lt0$,$g'(c)\gt0$. Por lo tanto, $g$ tiene un mínimo en$\xi\in(a,c)$, de modo que $g'(\xi)=0$.

Por lo tanto, hay un $\xi\in(a,c)$, de modo que $$ 0=g'(\xi)=-\frac1{b-a}\exp\left(\frac {- b\xi}{b}\right)\Big[f(\xi)-f(a)-(b-a)f'(\xi)\Big]\etiqueta{6} $$ y así, $$ \frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\etiqueta{7} $$