Solución general para el sistema de EDP a partir del rizo de un campo vectorial igual a otro

Question

En mi clase de cálculo vectorial, cuando se nos presentó el operador de rizo, el profesor nos dio este ejemplo:

¿Es posible encontrar un campo vectorial $\mathbf{G}$ tal que $$\mathbf{F} = \nabla \times {\mathbf{G}}?$$

Como motivación para la identidad de que la divergencia de un rizo de un campo vectorial es $0$ .

Mi pregunta es:

Dado que la identidad se cumple, ¿cómo se resuelve una solución general para las funciones componentes de $\mathbf{G}$ , dado $\mathbf{F}$ ?

Lo mejor que puedo hacer es encontrar una o dos soluciones. Por ejemplo, si $\mathbf{F}$ = $\langle-y,-z,-x\rangle$ una solución que encuentro es $\mathbf{G}$ = $\langle xy,0,-\frac{1}{2}y^2+xz\rangle$ . Tuve que pasar por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales y lo hice funcionar, pero ¿se puede escribir la solución general de forma explícita?

Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\newcommand{\p}{\mathbf{p}}$ Si consideramos que el $\mathbb{R}^3$ existe una fórmula de integral de trayectoria para construir la inversa de la derecha del operador de rizo para el campo vectorial libre de divergencia $$ \mathcal{R}(\F) = -(\p - \p_0)\times \int^1_0 \F\Big(\p_0 + t(\p- \p_0)\Big)t\,dt.\tag{1} $$ Se puede encontrar una prueba de esta fórmula aquí Para más información, la autora señala el libro de Spivak Cálculo sobre Múltiples .

En su caso, dejar que $\p_0 = \langle 0,0,0\rangle $ Es decir, es $$ \mathcal{R}(\F) = \langle x,y,z\rangle \times \int^1_0 \langle y,z,x\rangle t^2 dt = -\frac{1}{3}\langle z^2-xy,x^2-yz,y^2-xz\rangle .$$ Puedes comprobar que efectivamente se trata de la inversa correcta $$ \nabla \times \mathcal{R}(\F) = \F = -\langle y, z, x\rangle. $$ Observe que el campo vectorial de arriba es diferente al suyo, porque esencialmente $\mathcal{R}(\F) + \nabla \phi$ es también la respuesta para la suavidad $\phi$ .

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Comprobación adicional: la diferencia entre el inverso de la derecha $\mathcal{R}(\F) $ arriba y su campo potencial $\langle xy,0,−y^2/2+xz\rangle$ es $$ \mathbf{A} = \langle \frac{2}{3}x y +\frac{1}{3}z^2, \frac{1}{3}(x^2-y z), -\frac{1}{6}y^2+\frac{2}{3}xz\rangle = \nabla \left(\frac{1}{3} x^2y + \frac{1}{3}xz^2 - \frac{1}{6}y^2 z\right), $$ efectivamente un gradiente.

Si quieres eliminar el enorme núcleo del operador de rizo, lo que puedes hacer es (1) elegir un indicador (fijando la divergencia de $\mathbf{G}$ ), y/o (2) especificando la condición de contorno restringida en un dominio simplemente conectado $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ planteando el siguiente problema de valor límite en alguna $\Omega$ : $$\left\{ \begin{aligned} \nabla \times \mathbf{G} &= \F\quad \text{ in }\Omega, \\ \nabla \cdot \mathbf{G} &= g \quad \text{ in }\Omega, \\ \mathbf{G} \cdot \mathbf{n} &= 0 \quad \text{ on }\Gamma. \end{aligned} \right.$$ Puede comprobar la construcción del suyo $\langle xy,0,−y^2/2+xz \rangle $ no es libre de divergencia, mientras que la fórmula (1) nos da automáticamente el campo de potencial libre de divergencia. Para un campo libre de divergencia $\mathbb{R}^3$ elegir un calibre $g$ le dará el resultado que desea.

Answer 2

A través de mis estudios con configuraciones de electroimanes y configuraciones de imanes permanentes puedo responder a dos de sus preguntas.

Usted nos pregunta: "¿Es posible concentrar un campo magnético de manera que pueda, por ejemplo, mover un clavo a un kilómetro de distancia? Si no es así, ¿cuál es la diferencia fundamental entre la luz y el campo magnético que es responsable de esta limitación?"

Puedo responder a ambas preguntas.

Así que usted pregunta: "¿Es posible concentrar un campo magnético de tal manera que sea capaz, por ejemplo, de mover un clavo a un kilómetro de distancia?"

La respuesta es sencillamente que no, pero en cierto modo un campo magnético puede ser "enfocado", por así decirlo, de tal manera que sea casi uniforme. Por ejemplo, si tuviéramos un solenoide de un metro de largo y lo pusiéramos sobre un núcleo de hierro, el campo magnético estaría "enfocado" pero en términos propios sería casi perfectamente uniforme. Pero para responder mejor a tu pregunta concreta. No, a día de hoy no se puede enfocar un campo magnético para mover un clavo a un kilómetro de distancia.

Bien, siguiente pregunta:

"Si no es así, ¿cuál es la diferencia fundamental entre la luz y el campo magnético que es responsable de esta limitación?"

Según los mejores científicos, no hay una respuesta para describir la diferencia entre la luz y los campos magnéticos. Además del hecho de que los campos magnéticos se conocen como fotones invisibles y la luz no es invisible.

Los científicos siguen tratando de averiguar la correlación entre la luz y los campos magnéticos y las diferencias entre ellos.