Multiplicativa Semigroup de un Anillo

Question

Deje $I=\{0, 1, \ldots \}$ ser el multiplicativo semigroup de enteros no negativos. Es posible encontrar un anillo de $R$ de manera tal que el multiplicativo semigroup de $R$ es isomorfo (como semigroup) a $I$?

Answer 1

Supongamos que existe un isomorfismo, $\phi:R\to\mathbb N.$, En particular, una $R$ tendría que ser conmutativa, ya que $\mathbb N$ es un conmutativa semigroup, y unital, ya $1\in\mathbb N$ es una identidad. A continuación, $-1\in R$ mapas para algunos $\phi(-1)\neq 1\in\mathbb N.$ Pero $\phi(-1)^2=\phi((-1)^2)=\phi(1)=1,$ lo cual es claramente imposible. Por lo tanto no puede existir un anillo $R.$

Answer 2

Deje $F$ ser cualquier campo y tome $R = F[x_1,\ldots,x_n]$ para cualquier finito $n\ge 1$. Todos los no-cero del polinomio en $R$ factores de forma exclusiva en monic irreducibles veces una constante en $F^\times$.

Al $F = \mathbb F_2$, la factorización en monic irreducibles es exactamente único. Esto le da a $R \setminus \{0\}$ la estructura de un libre semigroup en countably muchos generadores (todos los no-constante de polinomios irreducibles).

La estructura de $I \setminus \{0\}$ es también la libre semigroup en countably muchos generadores (los primos).

También parece como la toma de $F = \mathbb F_3$ debe dar la multiplicativo semigroup de $\mathbb Z$.