¿Existe una verdadera función con valores que representan a la distancia?

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico y deje $f:[a,b]\rightarrow X$ ser una función continua.

Entonces, ¿existe una función de $g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $d(f(x),f(y))=|g(x)-g(y)|$ todos los $x,y\in [a,b]$?

Si no, ¿qué pasa si $f$ es absolutamente continua?

Answer 1

En general, no.

Ejemplo: supongamos $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{C}$ ser definido por $f(x) = e^{2\pi i x}$. Si $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ satisfecho $|g(x)-g(y)| = |f(x)-f(y)|$ todos los $x$$y$, luego $$\left|g\left(\frac{1}{4}\right)-g(0)\right| = |e^{\frac{\pi i}{2}} - e^0| = |i-1| = \sqrt{2} \\ \left|g\left(\frac{1}{2}\right) - g\left(\frac{1}{4}\right)\right| = |e^{\pi i}-e^{\frac{\pi i}{2}}| = |-1-i| = \sqrt{2}.$$ Esto significa que $g\left(\frac{1}{4}\right)-g(0)$ es $\sqrt{2}$ o $-\sqrt{2}$, y de manera similar a $g\left(\frac{1}{2}\right) - g\left(\frac{1}{4}\right)$$\pm\sqrt{2}$, lo $g\left(\frac{1}{2}\right) - g(0) = g\left(\frac{1}{2}\right) - g\left(\frac{1}{4}\right)+g\left(\frac{1}{4}\right)-g(0)$ puede ser $-2\sqrt{2}$, $0$, o $2\sqrt{2}$. Pero $$\left|g\left(\frac{1}{2}\right) - g(0)\right| = |e^{\pi i}-e^0| = |-1-1| = 2,$$ contradicción.