Como un $\mathbb{Z}$-módulo, es $\mathbb{R}\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{R}$ isomorfo a $\mathbb{R}$?

Question

Es cierto que $\mathbb{R}\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{R}$ (el producto tensor de $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$) no es isomorfo a $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$- módulo? Por favor dar la prueba.

Es fácil probar que el producto tensor de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ es isomorfo a $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$- módulos.

Answer 1

Como un grupo abelian, hay un isomorfismo $\mathbb R\cong\mathbb Q^{(I)}$ $I$ un conjunto de cardinalidad igual a la de $\mathbb R$; aquí $\mathbb Q^{(I)}$ denota una suma directa de $|I|$ copias de $\mathbb Q$, como de costumbre. Esto es una consecuencia del hecho de que $\mathbb R$ $\mathbb Q$- espacio vectorial, y tiene una base como tal.

Ya que el producto tensor distribuye más arbitrario directa sumas, $$\mathbb R\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R\cong \mathbb Q^{(I)}\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q^{(I)}\cong(\mathbb Q\otimes \mathbb Q)^{(I\times I)}.$$ Now, since $I\times I$ has the cardinality of $I$ and you know that $\mathbb Q\otimes \mathbb Q\cong\mathbb Q$, we have $$(\mathbb Q\otimes \mathbb Q)^{(I\times I)}\cong\mathbb Q^{(I)}\cong\mathbb R$$.