Mostrar que $7 \mid( 1^{47} +2^{47}+3^{47}+4^{47}+5^{47}+6^{47})$

Question

Yo soy la solución de ésta con el de fermat poco teorema pero me atoré con algunas manipulaciones y no hay manera de que yo pudiera decirle que el residuo de la suma de cada término todavía es divisible por $7$. lo que podría ser un mejor enfoque o estoy en el camino correcto? Gracias

Answer 1

$6^{47} \equiv (-1)^{47} = -1^{47}\mod 7$

$5^{47} \equiv (-2)^{47} = -2^{47}\mod 7$

$4^{47} \equiv (-3)^{47} = -3^{47}\mod 7$

Por lo tanto $ 1^{47} +2^{47}+3^{47}+4^{47}+5^{47}+6^{47} \equiv 0 \mod 7$.

Answer 2

Uno más de la solución.

Por Fermat Poco Teorema, $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ $a \not\equiv 0$ . Por lo tanto, $$ a^{48} = \left(a^6\right)^8 \equiv 1^8 = 1 \pmod{7} $$ para cada una de las $a \in \{1, 2, \ldots, 6\}$.

Como consecuencia, $a^{47} \equiv a^{-1}$, por lo que $$ \begin{align} 1^{47} + 2^{47} + 3^{47} + 4^{47} + 5^{47} + 6^{47} &\equiv 1^{-1} + 2^{-1} + 3^{-1} + 4^{-1} + 5^{-1} + 6^{-1} \\ &\equiv 1 + 4 + 5 + 2 + 3 + 6 \\ &\equiv 0 \pmod{7}. \end{align} $$

Answer 3

El mapa de $x \mapsto x^{47}$ es inyectiva en el distinto de cero clases de mod $7$ debido a que forman un grupo de orden $6$. Por lo tanto, este mapa es una permutación y así

$1^{47} +2^{47}+3^{47}+4^{47}+5^{47}+6^{47} \equiv 1+2+3+4+5+6 \equiv 0 \mod 7$.

Answer 4

El uso de este, $$\sum_{1\le r\le 6}r^{2k+1}$$ is divisible by $$\frac{6(6+1)}2=21$$