¿ Dynkin la fórmula de mantener para cualquier función de $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ tal que $f$ y todas sus derivadas parciales de orden $\le 2$ tienen en la mayoría de polinomio de crecimiento en $\infty$?
Respuesta
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Sí, lo es. Deje $f \in C_{\infty}^2$ ($f$ y sus derivados, de la orden de $\leq 2$ desaparecen en $\infty$). Luego Dynkin de la fórmula es una consecuencia del hecho de que $f$ está en el dominio de la generador de $A$,
$$A := \left\{f \in C_{\infty}(\mathbb{R}^d); \exists h \in C_{\infty}(\mathbb{R}^d): \lim_{t \to 0} \left\| \frac{\mathbb{E}f( \bullet + W_t)-f(\bullet)}{t} -h(\bullet) \right\|_{\infty}=0 \right\}.$$
Aquí, $$C_{\infty}(\mathbb{R}^d) := \{f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}; f \, \text{continuous}, \lim_{|x| \to \infty} f(x)=0\}.$$
Ahora, la idea es considerar ponderado de los espacios de $C_{\infty,g}$ en lugar de $C_{\infty}$:
$$C_{\infty,g}(\mathbb{R}^d) := \left\{f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}; f \, \text{continuous}, \lim_{|x| \to \infty} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 0 \right\}$$ $$\|f\|_{\infty,g} := \sup_{x \in \mathbb{R}^d} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right|$$
para "agradable" funciones"$g$. Desde el movimiento Browniano tiene exponencial momentos, uno puede mostrar que $g(x) := \exp(|x|)$ es admisible y que cualquier función de $f \in C_{\infty,g}$ de manera tal que las derivadas de orden $\leq 2$ también están contenidas en $C_{\infty,g}$ está en el dominio de $A_g$,
$$A_g := \left\{f \in C_{\infty,g}(\mathbb{R}^d); \exists h \in C_{\infty,g}(\mathbb{R}^d): \lim_{t \to 0} \left\| \frac{\mathbb{E}f( \bullet + W_t)-f(\bullet)}{t} -h(\bullet) \right\|_{\infty,g}=0 \right\},$$
y $A_g f = \frac{1}{2} \Delta f$ (como se esperaba). Utilizando las técnicas estándar, este rendimientos de Dynkin la fórmula para tales funciones $f$.
