Cómo puedo calcular esta derivada parcial de $f(a,b)=\int_0^\infty e^{-ax^3-bx^2}\mathrm dx$?

Question

Mi pregunta es:

Cómo probar que la función:

$$f(a,b)=\int_0^\infty e^{-ax^3-bx^2}\mathrm dx$$

es una solución de la ecuación diferencial:

$$3ab\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {b^2}}} - 3a\frac{{\partial f}}{{\partial b}} - 2{b^2}\frac{{\partial f}}{{\partial a}} = 1 ?$$

He leído en varios sitios, pero aún nada. :(

Gracias de antemano :)

Answer 1

Si el objetivo de la pregunta es para probar que $$f(a,b) = \int_0^\infty e^{-ax^3-bx^2}\mathrm dx,$$ satisface $$3ab\frac{\partial^2 f}{\partial b^2}-3a\frac{\partial f}{\partial b}-2b^2\frac{\partial f}{\partial a} = 1,$$ entonces esto se puede hacer mirando todos los términos al mismo tiempo, no por separado.

Voy a suponer que la diferenciación bajo el signo integral no es el problema de la parte.

Conectando, obtenemos los siguientes: $$3ab\frac{\partial^2f}{\partial b^2}-3a\frac{\partial f}{\partial b}-2b^2\frac{\partial f}{\partial a} = \int_0^\infty \left(3abx^4+3ax^2+2b^2 x^3\right)e^{-ax^3-bx^2}\mathrm dx.$$

Ahora, observa que $$\int_0^\infty 3ax^2e^{-ax^3 - bx^2}\mathrm dx = \int_0^\infty ax^3\left(3ax^2 + 2bx\right)e^{-ax^3-bx^2}\mathrm dx ,$$ por integración por partes.

Esto significa que, después de factoring, obtenemos $$\int_0^\infty \left(3abx^4+3ax^2+2b^2 x^3\right)e^{-ax^3-bx^2}\mathrm dx = \int_0^\infty \left(3ax^2+2bx\right) \left(ax^3+bx^2\right) e^{-ax^3-bx^2}\mathrm dx.$$ Mediante la sustitución de $u = ax^3 + bx^2$, esto se reduce a $$\int_0^\infty ue^{-u}\mathrm du = 1,$$ de dónde obtenemos la quería identidad.