Delimitada integrales implica normal de la familia para $f \in H(U)$

Question

Posibles Duplicados:
Localmente acotada de la Familia

Tomemos $F$ a ser el conjunto de todos los holomorphic funciones en la unidad de disco $U$, por lo que cada una de las $f \in F$ tiene la propiedad:

$\int\int |f(z)|^{2} dx dy \leq 1.$

donde la integral doble se ejecuta sobre $U$. Es $F$ una familia normal?

Answer 1

Sí, $F$ es uniformemente acotada en subconjuntos compactos de $U$, por lo que el teorema de Montel se aplica. Su $F$ es la bola unidad cerrada de la Bergman espacio de $A^2(U)$. Una excelente referencia sobre estos es Duren y Schuster los espacios de Bergman, que incluye lo que usted quiere aquí, en el comienzo del Capítulo 1. (En la prueba, hay una referencia a la página 9 de la Duren del libro anterior Teoría de la $H^p$ espacios.)

La desigualdad dada en el Teorema 1 implica que $$|f(z)|\leq \frac{1}{\sqrt{\pi}(1-|z|)}$$ for all $f\in F$ and all $z\U$. So given a compact set $K\subconjunto U$, $\{|f(z)|:z\in K,f\F\}$ is bounded above by $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\pi}d(K,\partial U)}}$.

Answer 2

Sí, es normal. A ver, escribir $$f(re^{i \theta}) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nr^ne^{in\theta}$$ Calcular la integral por escrito $|f|^2 = f \bar{f}$, y obtenemos la desigualdad $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|^2}{n+1} \leq \frac{1}{\pi}$$

Por lo tanto, si $f \in F$, $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$, $|z| \leq r <1$ tenemos $$|f(z)| \leq \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{\sqrt{n+1}} \sqrt{n+1} r^n \leq (1/\pi)^{1/2} (\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)r^{2n})^{1/2}$$

y por lo $F$ es uniformemente acotada en subconjuntos compactos, lo normal por el teorema de Montel.