Una ecuación de Trigonometría

Question

Hola queridos amigos por favor ayudenme a resolver este problema.muchas gracias. ¿Cuánto son $a$ y $b$ en el siguiente problema?

$$1-2\cos 3a +2\cos 3b=0$$ $$1-2\cos 5a +2\cos 5b=0$$

Answer 1

La principal dificultad a la hora de resolver esas ecuaciones estriba en las dos formas diferentes de utilizar cada variable, como por ejemplo $a$ sur $\cos 3a$ y $\cos 5a$ . Una forma de eliminar ese problema es expresar cada uno de ellos en términos de la misma expresión. Si utilizas las identidades de suma del coseno y el seno y dejas que $x=\cos a$ obtendrás

$$\cos 3a=4x^3-3x$$ $$\cos 5a=16x^5-20x^3+5x$$

Haga lo mismo para $y=\cos b$ y sustituir y obtendrá dos ecuaciones en $x$ y $y$ que ahora son directamente comparables. Aunque ahora tengas quintas potencias y similares, esto puede resultarte más fácil que las ecuaciones originales.

Answer 2

Basta con sumar las ecuaciones , tomar 2 comunes y utilizar esta fórmula cos3a + cos5a = 2cos4acosa similarmente para cos3b y cos5b.. Trate de resolver más Que esto ayude...

Answer 3

El siguiente código de Mathematica devuelve la solución a tu problema e implica raíces de polinomios de grado 12 combinados con la función arcus tangens (si no puedes acceder a Mathematica, aquí está la salida: (clic) .

Solve[1-2Cos[3a]+2Cos[3b]==0 && 1-2Cos[5a]+2Cos[5b]==0, {a,b}]

Answer 4

Algún resultado parcial. Ecuación de resta $(1)$ de la ecuación $(2)$ produce $$-2(\cos5a-\cos3a)+2(\cos5b-\cos3b)=0\Rightarrow \cos5a-\cos3a=\cos5b-\cos3b$$ Utilizando fórmulas de sustracción para el coseno obtenemos $$\sin\Big(\frac{5a+3a}{2}\Big)\sin\Big(\frac{5a-3a}{2}\Big)=\sin\Big(\frac{5b+3b}{2}\Big)\sin\Big(\frac{5b-3b}{2}\Big)\Rightarrow \sin4a\sin a=\sin4b\sin b$$ Añadir ecuación $(1)$ a la ecuación $(2)$ produce $$2-2(\cos5a+\cos3a)+2(\cos5b+\cos3b)=0$$ Utilizando las fórmulas de suma para el coseno obtenemos $$1-2\cos4a\cos a+2\cos4b\cos b=0$$ Por tanto, el problema equivale a encontrar la solución del siguiente sistema $$\begin{cases}\sin4a\sin a-\sin4b\sin b=0\\1-2\cos4a\cos a+2\cos4b\cos b=0\end{cases}$$ En primer lugar, no existe ninguna solución de la forma $a=b$ ya que la segunda igualdad no se cumpliría. En segundo lugar, tampoco $a$ ni $b$ puede ser cero. Supongamos que $a=0$ entonces de la primera ecuación debemos tener $b=\pi n$ ou $b=\frac{\pi n}{4}$ para $n\in\mathbb{Z}$ . Sin embargo, de la segunda ecuación se obtendría $$1-2\cdot1\cdot1+2\cos(4\pi n)\cos(\pi n)=0\Rightarrow1\cdot2\cdot(-1)^n=1$$ o $$1-2\cdot1\cdot1+2\cos(4\frac{\pi n}{4})\cos(\frac{\pi n}{4})=0\Rightarrow\cos(\frac{\pi n}{4})=\frac{(-1)^{n}}{2}$$ Pero está claro que ninguno de los resultados anteriores puede ser cierto. Así que tenemos $a\neq b$ y $a,b\neq0$ .

Answer 5

Basta con encontrar las soluciones $(a,b)$ en la plaza $[0,\pi]^2$ . En la siguiente figura (obtenida uniendo dos gráficos de contorno de Mathematica) los óvalos rojos grandes muestran los puntos $(a,b)$ que satisfacen la primera ecuación, y los pequeños óvalos azules muestran los puntos que satisfacen la segunda ecuación. Se puede suponer que la situación global creada por estas dos ecuaciones es muy compleja. Puedo distinguir cinco tipos diferentes de puntos de solución no equivalentes bajo simetrías.

Para hallar las soluciones numéricamente utilice la figura de estimaciones de partida $(a_0,b_0)$ y luego proceder, por ejemplo,. mediante el método Newton-Raphson.