¿Cómo puedo calcular el límite $\lim\limits_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9} - 2}$ sin la regla de L'Hospital?

Question

Tengo un problema con el cálculo del límite:

$$\lim\limits_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9} - 2}$$

¿Hay alguna forma de calcularlo? ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Dejemos que $f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}$ y $g(x)=\sqrt[4]{x+9}-2$ entonces $$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 7}\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}&=\lim_{x\rightarrow 7}\dfrac{f(x)-f(7)}{x-7}\lim_{x\rightarrow 7}\dfrac{x-7}{g(x)-g(7)}\\ &=f'(7)\times\dfrac{1}{g'(7)}. \end{align*}$$

Alternativamente, si dejamos que $$\begin{align*} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}&=\dfrac{\dfrac{u^{1/2}-v^{1/2}}{u^{1/3}+u^{1/6}v^{1/6}+v^{1/3}}}{\dfrac{x-7}{(x+9)^{1/4}+2}\dfrac{1}{(x+9)^{1/2}+4}}, \end{align*}$$ donde $u=(x+2)^{3}$ , $v=(x+20)^{2}$ , ahora $u^{1/2}-v^{1/2}=\dfrac{u-v}{u^{1/2}+v^{1/2}}$ , donde $u-v=(x-7)(x^{2}+12x+56)$ .

Answer 2

Con La fórmula de Taylor a la orden $1$ :

Set $x=7+h$ . Usted obtiene $$\begin{align} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9} - 2}&=\frac{\sqrt{9+h} - \sqrt[3]{27+h}}{\sqrt[4]{16+h} - 2}=\frac{3\sqrt{1+\frac h9} - 3\sqrt[3]{1+\frac h{27}}}{2\sqrt[4]{1+\frac h{16}} - 2}\\ &=\frac{\bigl(3+\frac h6+o(h)\bigr)-\bigl(3+\frac h{27}+o(h)\bigr)}{2+\frac h{32}+o(h)-2}=\frac{\frac{7h}{54}+o(h)}{\frac h{32}+o(h)}=\frac{\frac{7}{54}+o(1)}{\frac 1{32}+o(1)}\to \frac{112}{27}. \end{align}$$

Answer 3

Una pista:

Si $\sqrt{x+2}=a,\sqrt[3]{x+20}=b,\sqrt[4]{x+9}=c$

LCM $(2,3)=6$

$a^6-b^6=(a-b)(\cdots)$

Asimismo, $c^4-2^4=(c-2)\cdots$

Answer 4

Este es un comentario largo.

La aproximación $(1+y)^{1/n}\approx 1+\frac{y}{n}$ utilizado en la respuesta de Bernard no requiere cálculo para la $n$ porque el teorema del binomio da $(1+\frac{y}{n})^n\approx 1+y$ . Basta con ampliar el producto de $n$ términos con el álgebra.

Answer 5

Puedes calcular por separado los límites $$\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$$ $$\frac{\sqrt[3]{x+20}-3}{x-7}$$ $$\frac{\sqrt[4]{x+9}-2}{x-7}$$ Para esto se utiliza el truco de multiplicar por conjugados no sé si lo conoces. Para la del medio usa $$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$$ y para el primero y el último, $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$ una vez para el primero y utilizarlo dos veces sucesivamente para el último.