¿Por qué es cierto que la constante de martingala con cuadrática de la variación de la "t" es un cuadrado integrable continua martingala?

Question

Estoy leyendo Karatzas y Shreve del Movimiento Browniano y Cálculo Estocástico. Deje $M_t$ ser continua y un local de martingala. En la página 157, escribió que "debido a $\langle M\rangle_t = t$,$M \in \mathcal{M}_2^c$", donde $\mathcal{M}_2^c$ significa que la colección de continuo cuadrado integrable martingala. Me puedes decir por qué es cierto?

Es cierto que una martingala local de clase DL es una martingala. Sin embargo, no creo que el estado no se preocupa de la clase DL o integrabilidad uniforme, porque, como usted sabe, incluso un continuo, local martingales con uniforme de integrabilidad no ser martingala.

Sinceramente.

Answer 1

Esto es mucho más fácil que sus comentarios sugieren:

$$\mathbb{E}(M_t^2)=\mathbb{E}(\langle M \rangle_t)=t<\infty$$

Answer 2

Según Levy, la caracterización de movimiento Browniano, cualquier continua locales martingala $M$,$M_0=0$$\langle M\rangle_t=t$, para todos los $t\geq 0$, es un estándar de movimiento Browniano. En particular, es por lo tanto un cuadrado-jntegrable martingala.