¿Cómo puede la teoría de grupos explicar el movimiento sobre un suelo de baldosas hexagonales?

Question

(Como un preludio, no tengo formal de matemáticas de la formación de otras de la escuela secundaria. Soy un principiante con la teoría de grupo y han comenzado recientemente a recogerlo y ver sus posibles usos.)

Imagínese que un infinito juego de mesa cuyo espacios de hacer un suelo de baldosas hexagonales. Las piezas de este tablero, puede pasar directamente a espacios adyacentes de su espacio actual, o elegir no se mueve en absoluto (que se denota como e). Las seis direcciones que se puede mover podría ser llamado N, NE, SE, S, SWy NW. De esta forma tres distintos ejes, donde el movimiento positivo sobre el eje de un correspondería con N, movimiento positivo en el eje b se correspondería con SE, y el movimiento positivo en el eje c se correspondería con SW.

Describir el movimiento en esta junta se reúne los criterios de una abellian grupo:

• Cierre: Cualquier combinación de los movimientos más aún de la tierra de la pieza en este infinito tablero de juego.
• Asociatividad: (a • b) • b resultará en la misma ubicación como a • (b • b), a pesar de que se toman caminos diferentes.
• Elemento de identidad: cero movimiento (no se mueve en absoluto) en combinación con cualquier otro movimiento de los resultados en el otro movimiento. (e • a = a, a • e = a)
• Inverse elemento: Mover un espacio hacia el N y, a continuación, un espacio hacia S resultados en cero movimiento neto. (a • (-a) = e)
• Conmutatividad: Mover un espacio en el que un eje y, a continuación, un espacio en el b eje de resultados en la misma posición como el movimiento de un espacio en el b eje y, a continuación, un espacio en el que un eje. (a • b = b • a)

Las formas en que los movimientos se combinan es interesante, sin embargo. Los tres ejes no ortogonales uno al otro. Por ejemplo, a • b • c = e y a • b = -c para todos los ejes.

Estoy buscando una comprensión más profunda de los patrones que emergen de este. ¿Este grupo tiene un nombre? ¿Cómo se puede utilizar la teoría de grupos para describir, por ejemplo, un algoritmo que puede determinar si dos largas listas de movimientos en el tablero de resultados en el mismo movimiento neto? (a • a • b • c • (-a) = e)

Answer 1

El grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}^2$. Prueba:

De JohnBarber de la presentación en los comentarios de arriba, el grupo también es isomorfo al conjunto de los números complejos generados por $a$$b$, que se define como en su comentario (desde $a+b+c=0$). Para $z \in G$, $z$ tiene una representación única como $\lambda a + \mu b$, donde $\lambda$, $\mu$ son enteros (ejercicio: probar que es único).

A continuación, defina un grupo de homomorphism $\phi$$G$$\mathbb{Z}^2$$\phi(a) = (1, 0)$$\phi(b) = (0, 1)$. El homomorphism está bien definida, ya que la representación de $z$ era único e $\phi$ se define en los generadores.

También, el homomorphism es inyectiva (marque el kernel), y surjective (ver el $ma+nb$), por lo que es un isomorfismo.

Observe que $\phi(c) = (-1, -1)$. Así, para algunos secuencia de movimientos, convertir $a$ a $(1,0)$, $b$ a $(0,1)$ $c$ $(-1, -1)$y añadir los puntos.