acerca de la transpuesta de la matriz de

Question

Deje $A$ ser un real $n\times n$ matriz con $A^{T}=\alpha_{0}I+\alpha_{1}A$ donde $\alpha_{0}$ $\alpha_{1}$ son números reales. Mostrar que cualquiera de las $A^{T}=\pm A$ o $A=\lambda I$ para algún número real $\lambda$. Alguien puede darme sugerencia?

Answer 1

La afirmación no es verdadera. Considere la posibilidad de $A=\pmatrix{2&-1\\ 1&2}$. A continuación, $A^T=4I-A$ pero $A^T\neq\pm A$ o $\lambda I$.

Answer 2

Se nos da $A^t=aI+bA\dots(0)$(para simplificar, estoy escribiendo $a,b$)

Tomando la transpuesta de la ecuación anterior obtenemos $(A^t)^t=aI+bA^t \Rightarrow A=aI+b(aI+bA)$

Así tenemos,

$(1-b^2)A=a(1+b)I\tag1$

si $(1-b^2)\ne0$, luego tenemos a $A=\frac{a(1+b)}{1-b^2}I=\lambda I$(aquí se $\lambda=\frac{a(1+b)}{1-b^2}$)

y si $1-b^2=0$ a continuación, hemos de $(1)$, $a(1+b)=0$

ASÍ que o $b=-1$ o $a=0$.

Si $a=0$ $(0)$ tenemos $A^t= A$ $(1-b^2)=0$ $(1+b\ne 0)\Rightarrow b=1$

Si $b=-1$, luego tenemos a $A^t=aI-A$

Tenga en cuenta que el enunciado de la pregunta no es la correcta para $\alpha_1\ne -1$.