el cálculo de un orden superior derivadas

Question

Mi tarea es encontrar los valores de $f^{(2017)}(0)$$f^{(2018)}(0)$$f(x)=\frac{arccos(x)}{\sqrt{1-x^2}}$.

Básicamente, se trata de encontrar el $n^{th}$ derivado de la $f$. Así que me di cuenta de que si me deje $g(x)=arccos(x)$,$f(x)=-g(x)\cdot g'(x)$. Fui capaz de probar por inducción que para todo $n\geq 2$ $k\in \Bbb{N}$ $n^{th}$ derivado de la $g'$ $$[(g')^{k}]^{(n)}(0)=k\cdot(n-1)\cdot[(g')^{k+2}]^{(n-2)}(0)$$ Pero incluso con la aplicación de la regla de Leibniz para $f=g\cdot g'$ no entiendo cómo obtener el resultado final. ¿Puedo hacer el mal planteamiento del problema o es la fórmula general por encima de útil? Si es así, ¿cómo debo aplicar?

Answer 1

Respuesta parcial: $(g\cdot g')^{(n)}=\sum_{i+j=n}g^{(i)}\cdot g^{(1+j)}$ por lo que incluso con una fórmula para $g^{(n)}$ todavía tenemos que suma en nuestro camino. Tal vez es manejable, pero no puede ser.

Para el $2018$ de los casos, de hecho, este pequeño milagro parece suceder: para $|x|<1$ tenemos que

\begin{align*} \arccos x&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n} \end{align*}

Ahora, queremos encontrar $f^{(2018)}(0)$, lo que significa encontrar el coeficiente de $x^{2018}$ en el producto de los dos anteriores de la serie. El detalle es que el segundo de la serie sólo tiene incluso poderes de $x$, y el primero de la serie sólo tiene impar poderes de $x$, salvo por la constante. Esto significa que el coeficiente de $c_{n}$ $x^{2n}$ en el producto de la serie debe ser $=a_{0}b_{2n}$ donde $a_{i}$ es el coeficiente del término de grado $i$ en la primera serie, y $b_{j}$ es el coeficiente del término de grado $j$ en el segundo de la serie:

$$ f^{(2018)}(0) = \frac{\pi}{2}\frac{4035!!}{4036!!} $$