Considere los conjuntos de $$\mathbb{Q}_p= \left\{ \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\mathbin{\Large\mid} b \notin (p) \right\} $$ Son todos estos los máximos subrings de los racionales?
Respuesta
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Sí. No es demasiado difícil mostrar que cada sub-anillo de $\bf Q$ es una localización de $\bf Z$ con respecto a un conjunto de números primos (sin restricciones en los conjuntos de los números primos).
Deje $R$ ser un sub-anillo de $\bf Q$. Deje $S$ ser el conjunto de todos los números primos $p$ tal que $p^{-1}\in R$. A continuación,$S^{-1}{\bf Z}\subseteq R$. Ahora elija un elemento $x/y\in R\setminus S^{-1}{\bf Z}$ $x,y\in\bf Z$ (suponemos que por hipótesis por el momento esto es posible). Debe haber alguna prime $q$ tal que $q\mid y$, $q\nmid x$ y $q\not\in S$, y así (por la multiplicación de fuera) llegamos a la conclusión de $x/q\in R$. Pick $a,b\in\bf Z$ tal que $ax+bq=1$. A continuación, $q^{-1}=a(x/q)+b\in R$ por lo tanto podemos deducir $q\in S$, una contradicción. Por lo tanto $R=S^{-1}{\bf Z}$.
Así subrings están en bijective inclusión-la preservación de la correspondencia con los subconjuntos del conjunto de los racionales los números primos, por lo $S^{-1}{\bf Z}$ es máxima en $\bf Q$ fib $S$ es máxima en $\cal P$ fib $S={\cal P}\setminus\{p\}$ algunos $p\in\cal P$.
