Estoy tratando de entender cómo se conectan los índices superior e inferior al calcular el tensor de energía-momento. En particular, encontré el problema simple donde la densidad lagrangiana está dada como $$\mathscr{L}= \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial^{\mu}\phi)(\partial^{\nu}\phi)-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$ y quiero calcular el tensor energía-momento $T^{\mu\nu}$ . Comenzando con la relación $$ T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial^{\nu}\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}$$ se puede encontrar ${T_{\mu}}^{\nu} = \eta_{\mu\nu} T^{\mu\nu}$ y después volver a $T^{\mu\nu}$ a través de $T^{\mu\nu} = \eta^{\nu\mu} {T_{\mu}}^{\nu}$ .
Mis preguntas son las siguientes:
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¿Hay alguna diferencia entre $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ y $\frac{\partial}{\partial(\partial^{\mu}\phi)}$ y si es así, ¿cómo se calcula $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)} \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial^{\mu}\phi)(\partial^{\nu}\phi)$ ?
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¿Qué sucede con el término $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial^{\nu}\phi$ al multiplicar por $\eta_{\mu\nu}$ ? ¿Hay que mover algún índice? Mi entendimiento actual es que primero necesito encontrar una expresión para que esto no implique $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ y luego simplemente mover todos los índices superiores $\mu$ abajo.
Como probablemente puedes adivinar soy muy nuevo en este tipo de notación, y agradecería mucho cualquier ayuda.
