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Cómo probar que $T^1(M)$ simplemente se conecta a determinados $M$.

Concretamente, estoy trabajando con los espacios:

$S^n$, $\mathbb{C}P^n$ y $\mathbb{H}P^n$. Necesito a la conclusión de que la $T^1(M)$ se conecta para todos los colectores $M$ I lista (con la excepción de $S^2$).

Ahora, yo sé que $T^1S^2 \cong SO(3) $, por lo tanto $T^1S^2$ no está simplemente conectado.

Para el resto, lo que puedes hacer es utilizar el Gysin Secuencia de los espacios y llegar en el hecho de que su primer homología de grupos son triviales. Pero esto no es suficiente para mí para decir que son simplemente conectado.

¿Tengo que tomar otra ruta totalmente para probar esto, o puedo eludir este problema con algún teorema que garantiza que $H_1=0 \implies \pi_1=0$ en este caso específico?

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Mike Miller Puntos 17852

Estas son todas las esferas paquetes de los respectivos colectores, por lo que tiene un haz de fibras $S^k \to T^1(M) \to M$, $k+1$ la dimensión real de $M$. Pasando a la largo de la secuencia exacta de homotopy grupos de la exactitud de $$\pi_1(S^k) \to \pi_1(T^1(M)) \to \pi_1(M).$$

Para $n \geq 1$ y su colector $\neq S^1$, el último término es igual a cero, por lo que tiene un surjection $\pi_1(S^k)\to \pi_1(T^1(M))$. En cualquier caso, esto significa que $\pi_1(T^1(M))$ es un cociente de $\Bbb Z$ o $0$, por lo que es abelian, y, por tanto,$\pi_1(T^1(M)) = H_1(T^1(M))$.

De hecho, con excepción del caso de $k = 1$ $M = S^2 = \Bbb{CP}^1$, $k > 1$, por lo $\pi_1(T^1(M))$ es automáticamente trivial.

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