Una desigualdad con integrales definidas

Question

Necesito demostrar que la siguiente desigualdad es válida:

$$\int_{0}^{e} \sqrt{e^x-1} + \int_{0}^{e} \log{(x^2+1)} \geq e^2$$

Cualquier apoyo es bienvenido. Gracias.

Answer 1

Obsérvese que la función inversa de $f(x)=\sqrt{e^x-1}$ , $0\le x\le e$ es $f^{-1}(x)=\log(x^2+1)$ . Por lo tanto, puede aplicar la versión adecuada de La desigualdad de Young.