Dos pruebas sobre conjuntos abiertos y cerrados

Question

[Pregunta]

1) Que $M=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ . ¿Cómo puedo mostrar $M$ no está abierto en $\mathbb{R}$ ?

2) Que $K=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\} \cup \{0\}$ . ¿Cómo puedo mostrar $K$ está cerrado en $\mathbb{R}$ ?

[Solución]

1) He cogido el punto $1 \in M$ y colocó una bola abierta a su alrededor tal que $B_r(1)$ .

Quiero probar que puedo encontrar un $x \in B_r(1)$ tal que $x \not\in M$ porque entonces, por definición, $M$ no está abierto.

Entiendo que no está abierto, dibujando y mirando el intervalo. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo matemáticamente?

¿Podría simplemente escribir algo como esto?

Sea $r>0$ y $x=1+\frac{1}{2}r$ entonces $x \in B_r(1)$ mientras que $x \not\in M$ por lo tanto $B_r(1) \not\subset M$ y por lo tanto $M$ no está abierto.

No estoy seguro de cómo argumentar cómo/por qué definí x como tal. ¿Es lo anterior una prueba correcta y cómo podría probar/argumentar cómo se define x?

2) Demostrar que $K$ está cerrado, demostraré que $K^c$ está abierto.

Lo sé. $K^c$ es una unión abierta de conjuntos, pero no estoy seguro de cómo hacer una prueba adecuada. Esto es lo que he intentado

$K$ nunca será negativo y será mayor que 1, por lo que nunca estará dentro de $(-;0)$ & $(1;)$ .

Ahora no sé muy bien qué hacer.

Answer 1

He aquí otra prueba.

Un conjunto $K \subseteq X$ donde $X$ es un espacio métrico cerrado si para cada secuencia $x_n \in K$ tal que $x_n \longrightarrow x$ tenemos que $x \in K$ Es una proposición fácil de demostrar.

En $A= \{1/n|n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}$ ¿qué tipo de secuencias tiene?

Además, si conoces la compacidad, todo subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$ está cerrado.

$A$ es compacto porque $\{A_i|i \in I \}$ sea una cubierta abierta de $A$ .

Para algunos $i_0 \in I$ tenemos que $0 \in A_{i_0}$ y la secuencia $x_n=1/n \in A$ converge a $0$ Sabemos que $A_{i_0}$ es abierto por lo que existe $\epsilon >0$ tal que $0 \in (-\epsilon,\epsilon) \subseteq A_{i_0}$

A partir de la convergencia de $x_n$ existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $x_N \in (-\epsilon,\epsilon), \forall n \geqslant N$ .

Para $n<N$ cada término de tenemos que $1 \in A_{s_1}.......\frac{1}{N-1} \in A_{s_{N-1}}$ .

Tomemos la unión de estos conjuntos con $(-\epsilon,\epsilon)$ ypse ha encontrado una subcubierta finita de $A$ .

Espero que esta prueba ayude un poco.

Será de ayuda si se ha encontrado con la compacidad y algo de teoría en espacios métricos.

Answer 2

Esta solución es errónea. El segundo miembro de la unión no es una intersección sino una unión. De hecho tenemos:

$K^c=(-\infty,0)\cup(\cup_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{1+n},\frac{1}{n}))\cup(1,\infty)$ .

Como por definición la unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta, tenemos $K^c$ está abierto. Por lo tanto $K$ está cerrado.