Una captura con la Función Delta de Dirac

Question

Sabemos que $$ \int_{\mathbb{R}} f(t)\delta(t) \mathrm{d}t = f(0) $$ si $f$ es continua. ¿Qué va a ser si $f$ no es continua? Por ejemplo, ¿cuál es el valor de $$ \int_{\mathbb{R}} e^t\mathrm{u}(t)\delta(t) \mathrm{d}t $$

Answer 1

La suavidad de $f$ no juega un papel, sólo hace un no-distribución de prueba disponibles; ver esto. Si quieres hacer las cosas riguroso, el mejor punto de vista es $\delta_a(x):=\delta(x-a)$ como la distribución de las cuales se asigna a$\int_\mathbb{R}f(x)\delta_a(x)\,dx$$f(a)$.

Así, $$\int_\mathbb{R} e^t u(t)\delta(t)\,dt=e^t u(t)\Big|_{t=0}=e^{0}\cdot 1=1$$ by the sifting property of the Dirac delta. The last step depends on how you define $u(t)$ at $t=0$.