La construcción que he visto del campo de los números hiperreales considera un ultrafiltro no principal $\mathcal{U}$ en $\mathbb{N}$ , entonces toma el cociente de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ por equivalencia respecto a $\mathcal{U}$ Es decir, $(a_{n})=(b_{n})$ si el conjunto $S$ de los índices $n$ para lo cual $a_{n}=b_{n}$ está dentro $\mathcal{U}$ .
¿Está claro (o incluso es cierto) que se obtiene un campo isomorfo con una elección diferente del ultrafiltro?
No, hay que invocar hipótesis bastante fuertes como la Hipótesis del Continuo (CH) para obtener la unicidad. El artículo clásico sobre esto es el siguiente, donde se demuestra que es consistente con la ZFC que haya $\,2^{\large \aleph_0}$ campos hiperreales no isomórficos.
Judy Roitman. Campos hiperrealistas no isomórficos a partir de ultrapoderes no isomórficos.
Matemáticas. Z. 181, 93-96 (1982)
Véase también la tesis de licenciatura de N. Aldenhoven de 2010 Singularidad del Campo Hiperreal donde se puede encontrar una exposición elemental de un resultado anterior de Erdos, Gillman y Hendrikson (1955) de que todos los campos reales cerrados de la misma cardinalidad que $\,\Bbb R\,$ con un $\eta_1\!$ -son isomorfas.
Se pueden encontrar resultados más recientes buscando citas del artículo de Roitman.
Yo no llamaría a la CH una "hipótesis fuerte". (El término "fuerte" tiene un anillo de fuerza de consistencia, mientras que la consistencia de la CH y su fracaso son ambos equivalentes a la consistencia de la ZFC para empezar).
@Asaf, creo que Bill está usando "fuerte" en el sentido de "controvertido" más que en el sentido fundacional.
Me gustaría añadir algo a la respuesta de Bill:
Judy Roitman encontró un modelo particular de ZFC $+ \neg$ CH donde hay $\mathfrak c$ muchos campos hiperrealistas diferentes. Muy recientemente, se ha demostrado que en cada modelo de ZFC $+ \neg$ CH existe realmente $2^\mathfrak c$ diferentes campos hiperrealistas... tantos como se pueda esperar ya que hay exactamente $2^\mathfrak c$ ultrafiltros (gratuitos) en $\omega$ ¡!
Una dicotomía para el número de ultrapoderes
Ilijas Farah y Saharon Shelah
Journal of Mathematical Logic 10 (01n02):45-81 (2010)
Para obtener la unicidad del campo hiperreal hay que añadir el axioma de la saturación, que podría ser similar a la completitud (en el caso del campo real). Además, al igual que el campo real (completo arquimediano), los hiperreales tienen un definible modelo. Para una discusión, véase el texto de Keisler sobre los fundamentos aquí .
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No, no está claro, y creo que esto es abierto o descaradamente falso. Sin embargo, no estoy seguro.
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Se puede obtener una gran variedad de ultrapoderes no isomórficos incluso si el conjunto de índices es fijo. Existe una amplia literatura. Es útil, porque podemos obtener propiedades adicionales "agradables" mediante la elección adecuada del ultrafiltro.
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relacionados: mathoverflow.net/questions/88292/
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Si se cumple la hipótesis del continuo, entonces sí. Puede leer más sobre esto en el siguiente enlace: mathoverflow.net/questions/136720/