La confusión sobre las propiedades locales + el intento de mostrar un morfismo finito es casi finito

Question

Deje que $A$ ser un anillo conmutativo y dejar $B$ ser un finito $A$ -algebra. Deje que $f:A \to B$ ser un homomorfismo de anillo. Quiero mostrar que cuando $ \mathfrak {p} \subseteq A$ es un ideal primario, entonces hay finamente muchos ideales primarios $ \mathfrak {q} \subseteq B$ de tal manera que $f^{-1}( \mathfrak q) = \mathfrak p$ . Ahora estoy un poco confundido porque me han dicho que esto es una propiedad local, así que puedo asumir que $A$ es un anillo local. Sin embargo, no estoy seguro de por qué es una propiedad local o incluso cuál es la declaración correspondiente para cada localización de A en un ideal de primera.

realmente apreciaría cualquier consejo sobre esto, gracias.

Answer 1

Se puede suponer que $A$ no es sólo un anillo local, sino un campo. Dejemos que $f \colon A \to B$ ser un homomorfismo de anillo finito, que $ \mathfrak {p}$ ser un ideal primario de $A$ que $f^* \colon \mathrm {Spec} B \to \mathrm {Spec} A$ el mapa asociado, es decir. $f^*( \mathfrak {q}) = f^{-1}( \mathfrak {q})$ para cada ideal primario $ \mathfrak {q}$ de $B$ .

(1) Se puede suponer que $A$ es local y $ \mathfrak {p}$ es el único ideal máximo de $A$ . Considere $S = A \setminus \mathfrak {p}$ . $S^{-1}f \colon A_ \mathfrak {p} \to S^{-1}B$ es un homomorfismo finito de anillos. Deberías comprobar que $(f^*)^{-1}( \mathfrak {p})$ está en bijección con $((S^{-1}f)^*)^{-1}( \mathfrak {p}A_{ \mathfrak {p}})$ . Por lo tanto, puede reemplazar $A$ y $ \mathfrak p$ con $A_ \mathfrak {p}$ y $ \mathfrak {p} A_ \mathfrak {p}$ .

(2) Se puede suponer que $A$ es un campo y $ \mathfrak p = 0$ . $f$ induce un homomorfismo finito $ \bar {f} \colon A/ \mathfrak {p} \to B/ \mathfrak {p}B$ . Comprueba que la fibra de $f^*$ sobre $ \mathfrak {p}$ está en bijección con la fibra de $ \bar {f}^*$ sobre $ \overline { \mathfrak p} = 0$ . Puedes reemplazar $A$ con el campo $A/ \mathfrak {p}$ y $B$ con $B/ \mathfrak {p}B$ .

Los pasos (1) y (2) pueden ser unificados en un solo paso: reemplazar $A$ con $k( \mathfrak {p})$ y $B$ con $B \otimes_A k( \mathfrak {p})$ donde $k( \mathfrak {p})$ es el campo de residuos de $ \mathfrak {p}$ . Esto se describe en la Propuesta 3.1.16 de la Ley de Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas .

La prueba continúa en mi respuesta aquí .

Answer 2

Este $f$ más vale que sea el homomorfismo que da $B$ su $A$ -Estructura de álgebra. Si se permite que sea arbitrario, entonces no creo que la afirmación sea cierta: que $k$ ser un campo infinito, y definir $f \colon k[x] \to k[x]$ por $p(x) \mapsto p(0)$ . Luego $f^{-1}((x - a)) = (x)$ para todos $a \in k$ . [Geométricamente, este es el mapa de la línea afín a sí mismo enviando todos los puntos cerrados al origen.]

Para atacar el problema, localice en $ \mathfrak p$ y obtener un homomorfismo finito $f_ \mathfrak p \colon A_ \mathfrak p \to B_ \mathfrak p$ . Esto encaja en un diagrama conmutativo de anillos \begin {arriba}{ccc} A_ \mathfrak p & \stackrel {f_ \mathfrak p} \rightarrow & B_ \mathfrak p \\ \uparrow & & \uparrow \\ A & \stackrel f \to & B \end {arriba} y hay un diagrama conmutativo correspondiente de los espectros. Creo que la clave es dibujar ese diagrama y averiguar lo que sabes sobre los cuatro mapas involucrados.

El anillo $B_ \mathfrak p$ es canónicamente isomorfo a $T^{-1}B$ donde $T$ es el conjunto multiplicador $f(A - \mathfrak p)$ . Así que los primos de $B_ \mathfrak p$ corresponden a los primos $ \mathfrak q$ de $B$ de tal manera que $f^{-1}( \mathfrak q) \subset \mathfrak p$ . [Véase la Proposición 6.1 de Milne Y después de mirar tu diagrama por un tiempo, descubrirás que $f_ \mathfrak p^{-1}( \mathfrak qB_ \mathfrak p) = \mathfrak pA_ \mathfrak p$ si y sólo si $f^{-1}( \mathfrak q) = \mathfrak p$ .

Ahora puedes reducir al caso en el que $(A, \mathfrak p)$ es local, en el que nunca hay que preocuparse de que $f^{-1}( \mathfrak q) \not\subset \mathfrak p$ . ¿Puedes pensar en un anillo cuyo espectro describe los primos de $B$ que contiene $ \mathfrak pB$ ? Entonces puedes aplicar las respuestas dadas por Andrea y yo aquí .