Explique por qué existen polinomios $p(x), q(x) \in \mathbb{R}[x]$, de modo que $f(x) = p(x)d(x), g(x) = q(x)d(x)$$\gcd[p(x), q(x)] = 1$.

Question

"Supongamos que $f(x), g(x)$ son arbitrarias polinomios en $\mathbb{R}[x]$, que no son ambos cero, y $d(x) = \gcd[f(x), g(x)]$. Explique por qué existen polinomios $p(x), q(x) \in \mathbb{R}[x]$, de modo que $f(x) = p(x)d(x), g(x) = q(x)d(x)$ y mcd$[p(x), q(x)] = 1$. "

Mi intento:

"Si $d(x) = \gcd[f(x), g(x)]$ $d(x)\mid f(x)$ $d(x)\mid g(x)$

Por lo tanto $f(x) = p(x)d(x)$ $g(x) = q(x)d(x)$ $p(x), q(x) \in \mathbb{R}[x]$

Supongamos por contradicción que $\gcd[p(x), q(x)] \not = 1$

Por lo tanto $\exists$ $a(x),s(x),t(x)$ con $\deg(a(x))\geq 1$ tal que $p(x) = a(x)s(x)$ $q(x)=a(x)t(x)$

Por lo tanto $f(x) = a(x)s(x)d(x)$ $g(x) = a(x)t(x)d(x)$

Por lo tanto $\gcd[f(x), g(x)] = a(x) \not = 1 $"

No estoy seguro de si esto está en el camino correcto.

Answer 1

La técnica es básicamente lo que se ve en mi respuesta a esta pregunta , excepto que los polinomios en lugar de números enteros se utilizan.

Answer 2

Usted está en el camino correcto, y casi hecho. Sin embargo, la última línea no va a ninguna parte.

"Por lo tanto $f(x) = a(x)s(x)d(x)$ $g(x) = a(x)t(x)d(x)$
Por lo tanto $\gcd[f(x), g(x)] = a(x) \not = 1 $"

La conclusión debe ser que $a(x)d(x)|f(x)$$a(x)d(x)|g(x)$, por lo tanto, por la definición de $\gcd$ para polinomios tenemos que $\deg(a(x)d(x))\leq \deg(d(x))$. Esto es una contradicción ya que el $$\deg(a(x)d(x))=\deg(a(x))+\deg(d(x))=1+\deg(d(x))>\deg(d(x)).$$

De ello se desprende que $\gcd(p(x),q(x))=1$.