Es la segunda derivada de una función convexa convexa?

Question

Si $f$ es dos veces diferenciable y convexo, es verdad eso de $f''$ es una función convexa ?

Answer 1

Pensé en tomar como un reto personal, para encontrar un contraejemplo en toda la recta real. He aquí un método para la construcción de una función de este tipo: deje $g_1(x)$ ser cualquier nonconvex pero real positivo función tal que las integrales de $g_2(x)=\int_{0}^x g_1(z) dz$, e $g_3(x)=\int_{0}^x g_2(z) dz$ ambos existen para todos los $x\in\mathbb{R}$. A continuación, $g_3$ es convexa, pero su segunda derivada $g_1$ no lo es.

Si quieres un ejemplo específico, considere la posibilidad de $$f(x) = x \mathop{\textrm{erf}}(x) + \tfrac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$$ Elegí este deliberadamente, porque $$f'(x) = \mathop{\textrm{fer}}(x), \quad f"(x) = \tfrac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}.$$

La función:

La segunda derivada:

Answer 2

Un polinomio que funciona es $x^6-2x^5+5x^2$. La segunda derivada es $10(3x^4-4x^3+10)$, y siempre es $\ge 0$. Pero la cuarta derivada es $120(3x^2-2x)$, que es negativa en el intervalo de $\left(0,\frac{2}{3}\right)$.

Answer 3

Podría usted el nombre de una función que tiene continua de la primera y segunda derivada de las funciones, ha $ \ f'' > 0 \ $ en todas partes, pero para que $ \ f'' \ $ sí tiene curvatura cero? Cómo acerca de $ \ f(x) = x^2 \ $ ?

EDIT: parece bastante difícil de encontrar (al menos) una escuela primaria de la función es convexa en todas partes, para que la segunda derivada de la función es cóncava en todas partes. Si usted puede estar satisfecho sólo con un intervalo de, $ \ f(x) = -\arctan x \ $ $ \ x > 0 \ $ es convexa en todas partes en el intervalo, sino $ \ f''(x) \ $ no lo es.

Answer 4

integrar una función positiva dos veces, entonces tenemos una función convexa. Tan sólo tiene que encontrar un no convexo función positiva es suficiente. Decir, vamos a $f''(x)=\sin(x)+1$, $f(x)=x^2-\sin(x)$ es convexa, sino $f''$ no lo es.