Demostrar algo sobre un objeto expresándolo como un ultraproducto de objetos más fáciles de entender.

Question

Estaba mirando esta demostración del teorema de Ax-Grothendieck el teorema de que cualquier función polinómica inyectiva sobre $\mathbb{C}^{n}$ es suryectiva. La conclusión del teorema de Ax-Grothendieck es, en el sentido pertinente, esencialmente expresable de primer orden en la estructura $\mathbb{C}$ o cualquier otro ámbito $F$ ; se cumple si $F$ satisface la sentencia de primer orden de que cualquier función polinómica inyectiva sobre $F^{n}$ con coordenadas de grado como máximo $m$ es suryectiva, para cualquier $n$ y $m$ . Entonces, por el podemos demostrar esta conclusión para $F=\mathbb{C}$ si podemos probarlo para $F$ un cierre algebraico de un campo finito, que a priori comprendemos mejor que $\mathbb{C}$ y demuestre que $\mathbb{C}$ es el ultraproducto (no principal) de estos cierres algebraicos.

Mi pregunta es si existen otras pruebas como ésta. ¿Dónde más podemos probar que un objeto $A$ tiene una propiedad determinada $P$ que, viendo $A$ como estructura de una lengua $\mathcal{L}$ es esencialmente expresable en primer orden en $\mathcal{L}$ expresando $A$ como el ultraproducto de objetos más fáciles de comprender y de los que ya se sabe que tienen propiedades $P$ ?

Answer 1

En general, es difícil demostrar que una estructura $M$ de interés es en realidad isomorfo a un ultraproducto $\prod_{i\in I} M_i/U$ . En el caso de $\mathbb{C}$ podemos utilizar el hecho de que $\mathbb{C}$ y $\prod_{p}\overline{\mathbb{F}_p}$ son ambos campos algebraicamente cerrados de característica $0$ y cardinalidad continua, y existe un único campo de este tipo hasta el isomorfismo (es decir, la teoría $\text{ACF}_0$ es $2^{\aleph_0}$ -categórica).

Pero no necesitamos isomorfismo - basta con mostrar que nuestra estructura $M$ es elementalmente equivalente al ultraproducto $\prod_{i\in I} M_i/U$ . En el caso de $\mathbb{C}$ sólo tenemos que demostrar que $\mathbb{C}$ y $\prod_{p}\overline{\mathbb{F}_p}$ son ambos campos algebraicamente cerrados de característica $0$ y utilizar el hecho de que $\text{ACF}_0$ está completo. Este argumento es obviamente más ampliamente aplicable (¡hay más teorías completas que teorías incontablemente categóricas!), así que la mayoría de las aplicaciones del teorema de o del tipo que te interesa tendrán esta forma.

Otra aplicación clásica del teorema de O es el teorema de Ax-Kochen. Ax y Kochen formularon su argumento de forma diferente, pero en lenguaje moderno, dos campos valorados henselianos de característica residuo $0$ son elementalmente equivalentes si y sólo si sus campos de residuos y grupos de valores son elementalmente equivalentes. Como consecuencia, tenemos la equivalencia elemental $$\prod_{p} \mathbb{Q}_p/U \equiv \prod_p \mathbb{F}_p((t))/U$$ para cualquier ultrafiltro no principal sobre el conjunto de primos. Este teorema precisa la intuición de que el $p$ -y los campos formales de la serie de Laurant sobre $\mathbb{F}_p$ tienen un comportamiento similar "en el límite $p\to\infty$ ".

La consecuencia algebraica (a menudo denominada teorema de Ax-Kochen) es la siguiente: Para cada grado $d$ existe un conjunto excepcional finito de primos $P_d$ tal que para cualquier $p\notin P_d$ cualquier polinomio homogéneo sobre $\mathbb{Q}_p$ de grado $d$ en al menos $d^2+1$ tiene un cero no trivial en $\mathbb{Q}_p$ .

Prueba: Un campo se denomina $C_k$ si cualquier polinomio homogéneo de grado $d$ en $d^k+1$ variables tiene un cero no trivial (esto implica fácilmente que cualquier polinomio homogéneo de grado $d$ en como mínimo $d^k+1$ variables tiene un cero no trivial). Los campos algebraicamente cerrados son $C_0$ y $C_1$ se denominan cuasi-algebraicamente cerrados, entre los que se incluyen los campos finitos $\mathbb{F}_p$ . Lang demostró que $\mathbb{F}_p((t))$ es $C_2$ para todos $p$ . Ahora el $C_2$ es expresable mediante un esquema de sentencias de primer orden, una por cada grado $d$ . Y la conclusión se sigue por la equivalencia elemental anterior y dos aplicaciones del teorema de o.