Estoy tratando de demostrar que para cualquier cardinal infinito $\kappa$ hay un grupo simple $G$ de tamaño $\kappa$ He intentado utilizar el teorema de la compacidad y luego el de Löwenheim-Skolem ascendente, pero esto es imposible como muestra el siguiente argumento:
Supongamos que $F$ es un conjunto de oraciones en un lenguaje de primer orden que contiene el lenguaje de grupos tal que para cualquier grupo $G$ tenemos $G\vDash F$ si $G$ es un grupo simple, sea $\varphi$ sea una frase tal que $G\vDash \varphi $ si $G$ es abeliana. Entonces como para cada primo $p$ , $\mathbb Z_p$ es simple y abeliano, por el teorema de compacidad existe un grupo simple abeliano infinito $G$ y, por tanto, utilizando Löwenheim-Skolem obtenemos un grupo abeliano simple incontable $G$ . Elige un elemento no nulo $a\in G$ entonces $\langle a \rangle$ es un subgrupo normal propio de $G$ . Contradicción.
Nótese que la contradicción no se obtiene por la existencia de un grupo simple abeliano infinito, cosa que no sé si es cierta o no, sino por la suposición de la axiomatización de los grupos simples, y el uso del teorema de Lowënheim-Skolem.
Ahora bien, ¿hay alguna forma de demostrar esta afirmación?
Gracias.
