¿Por qué cada contables límite ordinal han cofinality $\omega$?

Question

De acuerdo a Wikipedia, si $\alpha$ es una contables límite ordinal, a continuación,$\mathrm{cf}(\alpha)=\omega$. Es intuitivamente claro para mí que debe ser así. Sin duda el cofinality de un ordinal debe ser $\geq\omega$. Ahora podemos ver lo que el ordinal termina con. Si tiene una única $\omega$ a la final, entonces eso es un cofinal subconjunto y hemos terminado. Puede, sin embargo, no terminan en el $\omega$. Se podría, por ejemplo, final en $\omega$ $\omega$s o $\omega^2$. A continuación, podemos elegir un elemento de cada una de las $\omega$ que constituye la $\omega^2$, y el conjunto de estos elementos es cofinal en $\alpha$, y el tipo es $\omega.$ Si $\alpha$ termina en $\omega^3$, podemos tomar uno de los elementos de cada una de las $\omega^2$ que constituye la $\omega^2$, y obtener un cofinal subconjunto de tipo $\omega.$

A mí me parece que este razonamiento debería funcionar. Probablemente debe ser hecho de forma inductiva. ¿Cómo debo hacerlo?

Answer 1

Hay dos enfoques:

1. $\omega\leq\operatorname{cf}(\alpha)\leq|\alpha|\leq\alpha$, para limitar los ordinales $\alpha$. Si usted demuestra que usted esta desigualdad, a continuación, usted está hecho, ya contables ordinales tienen cardinalidad $\omega$.

2. En realidad se puede construir un cofinal $\omega$-secuencia. Deje $f\colon\omega\to\alpha$ ser un bijection. Deje $\alpha_0=f(0)$, y deje $\alpha_{n+1}=f(k)$ tal que $k$ es el mínimo para que $f(k)>\alpha_n$. Porque los números ordinales son bien ordenados no hay disminución de las secuencias, y por lo tanto no existe tal $k$. No es difícil mostrar que la secuencia de $\alpha_n$ es cofinal.

Answer 2

Sugerencia:Deje $\gamma$ ser una contables ordinal. Enumarate $\gamma=\{\alpha_n:n<\omega\}$, construcción $\beta_n$ $\beta_n=\alpha_{m}$ donde $m$ es el menos$m<\omega$$\alpha_m>\beta_{n-1}$, entonces, ¿qué es $\lim_{n\rightarrow \omega}\beta_n$?