Desmentir: $f\circ g = f \circ h \implies g=h$ para una función suryectiva $f$

Question

Intenté usar un contraejemplo muy específico aquí donde selecciono una función suryectiva para la cual las composiciones son iguales pero las funciones dentro no lo son.

Es probable que esto esté fuera de lugar, pero es lo que tengo hasta ahora.

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Supongamos que $f \circ g = f \circ h$ .

Consideremos la función suryectiva $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $f(x) = x*sin(x)$ .

¿Debo demostrar que esto es sobreyectivo antes de continuar?

Supongamos, en aras de la contradicción, que $g \neq h$ dado por

$g(x) = 0$ y $h(x) = 2\pi$ .

¿Puedo elegir estas funciones constantes? ¿Necesito definir dominios y codominios?

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(0) = 0 * sin(0) = 0$

$(f \circ h)(x) = f(h(x)) = f(2\pi) = 2\pi * sin(2\pi) = 0$

Observe que $f \circ g = f \circ h$ $\land$ $x_1 \neq x_2$ .

Así, hemos dado un contraejemplo para refutar la afirmación. Por lo tanto, la subjetividad de $f$ no es una condición suficiente para que la afirmación sea verdadera.

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Ahora entiendo completamente la prueba y entiendo que la tengo correcta, gracias por vuestras respuestas.

Answer 1

Dejemos que $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$ , $f(x)=\sin(x)$ . Entonces dejemos que $g(x)=x$ , $h(x)=x+2 \pi$ . $f$ es suryente y $f \circ h= f \circ g$ pero está claro que no tenemos $h=g$

Answer 2

Considere $f:X\to\{0\}$ donde $f(x)=0$ para todos $x\in X$ . A continuación, puede especificar $g:X\to X$ , $h: X\to X$ y $X$ como quieras; cualquier dicha elección (con $|X|\geq 2$ ) funcionará.

Answer 3

Dejemos que $S$ sea el conjunto de alumnos de una clase. Sea $g(s)$ y $h(s)$ denotan las puntuaciones obtenidas por el alumno $s$ en Geografía e Historia, respectivamente. Así, $g,h$ son funciones de $S$ a $[0,100]$ . Dejemos que $f\colon[0,100]\to \{A,B,C,D,E,F\}$ sea una función que asigne calificaciones de letras a las puntuaciones numéricas.

Ahora te dejo que elabores un escenario en el que cada alumno obtenga la misma nota en las dos asignaturas, es decir, $f\circ g = f\circ h$ . ¿Significa eso necesariamente que las puntuaciones son las mismas en ambas asignaturas para cada estudiante?