Mostrar$(a,b)$ está conectado usando$(a,b]$ está conectado

Question

Dado el habitual espacio topológico $(\Bbb{R}, \tau_d)$ $\Bbb R$ donde $d$ es la métrica Euclidiana, un subconjunto $X$ $\Bbb R$ dijo estar conectado si el subespacio topológico del espacio $(X,\tau _X)$ está conectado, es decir, el clopen pone en $(X,\tau _X)$ sólo puede ser $\emptyset, X$.

Mi profesor de notas de la conferencia han demostrado un intervalo de tipo $(a,b]$ donde $a,b\in\Bbb R,a<b$ está conectado. La prueba es largo y complicado.

Ahora quiero usar el hecho de que $(a,b]$ está conectado a probar $(a,b)$ está conectado.

Suponga $(a,b)$ no está conectado, a continuación, $\exists G_1,G_2$ a que se abra pone en $\tau_{(a,b)}$ pt. $(a,b)=G_1\bigcup G_2$ $G_1\bigcap G_2=\emptyset$ . Desde $b=\sup(a,b)$, entonces cualquiera de las $b=\sup G_1$ o $b=\sup G_2$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $b=\sup G_1$. Si podemos mostrar a $G_1\bigcup\{b\}\in\tau _{(a,b]}$, $(G_1\bigcup\{b\})\bigcup G_2=(a,b]$ y $G_1\bigcup\{b\}$,$G_2$ son distintos bloques abiertos en $\tau _{(a,b]}$, lo cual es una contradicción con el hecho de que $(a,b]$ está conectado.

Sin embargo, he intentado pero no fue capaz de demostrar $G_1\bigcup\{b\}\in\tau _{(a,b]}$. Alguien puede ayudar con una prueba de este o hay otra manera de mostrar a $(a,b)$ está conectado? Gracias!

Answer 1

Para elaborar el comentario de @Giovanni, puede hacer lo siguiente.

En primer lugar, es un buen ejercicio para usted (en el que sólo se utilizan las definiciones), para mostrar que

Un espacio topológico $(X,T)$ está conectado si y sólo si cada función continua $f :X \to \{0,1\}$ es constante. Aquí, $\{0,1\}$ está equipado con la topología discreta.

Ahora, elija $n_0 \in \Bbb{N}$ $a < b -1/n_0$ y elija $x_0 \in (a, b -1/n_0)$ arbitrariamente. Definir

$$ X_n =(a, b - 1/n] $$ y se nota $$ X := (a,b)= \bigcup_{n \geq n_0} X_n. $$

Deje $f:X \to \{0,1\}$ ser continua. Desde cada una de las $X_n$ está conectado (y desde $f$ restringido a $X_n$ es continuo), tenemos $f \equiv c_n$$X_n$. Pero debido a $x_0\in X_n$, obtenemos $c_n = f(x_0)$ todos los $n$, por lo que la constante es independiente de $n$.

Ahora es fácil ver $f \equiv f(x_0)$ sobre todo $X$. Como se señaló anteriormente, esto demuestra que $X$ está conectado.

De manera abstracta, lo hemos utilizado/mostré aquí es que una unión de connecte conjuntos, los cuales comparten un punto en común, está conectado. Esto puede, por supuesto, se pueden generalizar un poco. Incluso es suficiente si cada par de los conjuntos de la unión tiene intersección no vacía (solo necesitamos que la constante de ($c_n$ anterior) es independiente de la set elegido).

Answer 2

Si usted ya sabe que cualquiera de las $sup(G_1)=b$ o $sup(G_2)=b$ y no tanto, que es suficiente para demostrar la unión de algunos de ellos con $\{b\}$ está abierto. Si, por ejemplo, $sup(G_1)=b$$sup(G_2) < b$, entonces hay algo de bola de la topología de subespacio $\tau_{(a,b]}$ centrada en $b$ contenido totalmente en $G_1 \cup \{b\}$. Esto sería suficiente para demostrar que $G_1 \cup \{b\}$ está abierto en $\tau_{(a,b]}$ $G_1$ se supone que debe ser abierta en $\tau_{(a,b)}$.

Pero estoy pensando que tal vez la intención de la prueba era más parecido a esto: como $(a,b]$ está conectado, por lo que es $[c,d)$. Ahora escribo $(a,b)=(a,\frac{a+b}{2}] \cup [\frac{a+b}{2},b)$ como la unión de dos conjuntos conectados con intersección no vacía. Por lo tanto, $(a,b)$ está conectado.