Juegos topologicos

Question

He visto en un par de resúmenes, como este por ejemplo: Un estudio topológico de los juegos de la observación de que el objeto Topológico de juegos tiene aplicaciones en otros campos de las matemáticas. Estoy familiarizado con topológica de los juegos en los principios de selección. Pero aún así. No veo la ventaja en la descripción de una situación por medio de un topológico juego en lugar de ellos simplemente describir las propiedades topológicas del espacio.

¿Alguien tiene una respuesta relativamente simple para que? ¿Cuáles son las ventajas de describir un espacio topológico por un juego en lugar de por sus propiedades topológicas.

Por, relativamente simple, quiero decir, una respuesta en un nivel de un estudiante de posgrado que está familiarizado con los conceptos de la topología y de la teoría de conjuntos, pero no es, sin embargo, en un nivel de investigación/

Gracias!

Answer 1

En general, se puede decir que topológico juegos son una herramienta muy poderosa en el área de descriptivo de la teoría de conjuntos.

Normalmente, cada vez que quiero probar una "dicotomía resultado", es decir, un enunciado de la forma "o algo pasa, o una forma fuerte de la inversa sucede", es una buena idea para tratar de demostrar que mediante un juego. El "algo" va a pasar si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora, y la fuerte conversar sucederá si el otro jugador tiene una estrategia ganadora. Por lo tanto, si el juego es determinado, la dicotomía es cierto.

Por ejemplo, uno puede demostrar que con la ayuda de un adecuado juego que si $A$ es un subconjunto de Borel $\mathbb R$, entonces cualquiera de las $A$ es contable, o $A$ es incontable en un sentido fuerte, es decir, que contiene un conjunto perfecto (un conjunto cerrado no vacío sin puntos aislados). Este es el llamado "conjunto perfecto teorema" para los conjuntos de Borel.

Si usted está interesado en este tipo de ideas, le sugiero que eche un vistazo a Kechris libro Clásico Descriptivo de la teoría de conjuntos. En particular, en la sección 8.C, 8.H y en el Capítulo 21.