Dada la matriz de bloques$M$, muestra una relación determinante entre$M$ y los elementos de bloque de$M.$

Question

Dado que$M = \begin{pmatrix} A & B \\ C &D \end{pmatrix}$ y$M^{-1} = \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix},$ donde$A, B,\dots$ son$k \times k$ matrices, muestre que$\det(M) \cdot \det(S) = \det(A).$

Se ha ido a través de hojas de papel en este ... Siento que hay un truco y una respuesta rápida.

Answer 1

Puedes escribir$M$ como,

PS

donde$$ M =\begin{pmatrix}A&0 \\0&\text{I} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\text{I}&0 \\\text{C}&\text{I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\text{I}&A^{-1}B \\0&D-CA^{-1}B \end{pmatrix},$ (pruebe la inversión, o simplemente búsquelo en el complemento de Schur).

Entonces la igualdad deseada sigue inmediatamente.

Tenga en cuenta también que esta es en realidad la generalización de la fórmula determinante para matrices$S=(D-CA^{-1}B)^{-1}$.

Por $2\times 2$,$M=\begin{pmatrix}a & b\\c& d \end{pmatrix}_{2\times2} $ $\quad$