Racionalizar denominador:$\frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{6}}$

Question

$$\frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{6}}$ $ Así que esto es lo que pensé: la raíz cuadrada de 1 es obviamente una, así que tengo$1^3 +(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6})$. En mi cabeza veo que esta es la primera parte de la fórmula de la suma de cubos. Me multipliqué con el resto de la fórmula para poder obtener$1^3 +(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6})^3$ en el denominador. Ahora, cuando trato de hacer este corchete, tengo un problema, ¿qué hago con esto? PS

¿Cómo me deshago de las raíces cuadradas?

Answer 1

Desde$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $

PS

y como$$\frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{6}}=\frac{\sqrt[3]{5^2}+1+\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{30}}{12-3\sqrt[3]{30}}$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $ solo tienes que multiplicarlos para obtener la respuesta, pero no olvides el factor$$\frac{1}{\sqrt[3]{30}-4}=\frac{\sqrt[3]{30^2}+4\sqrt[3]{30}+16}{30-64}$.

Answer 2

Usa la identidad:$$\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}-\sqrt[3]{xy}-\sqrt[3]{yz}-\sqrt[3]{zx}}{x+y+z - 3\sqrt[3]{xyz}}$ $

y luego usa la diferencia de fórmula de cubo. Bastante seguro de que no hay una manera más fácil de hacer esto.