$2021^{\text{st}}$ término de una secuencia

Question

Q. Sea la secuencia ${a_{n}}$ satisfacer $$a_{1} = 1, a_{2}=4, a_{3}=5 $$ y $$ a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}=n^2$$ $$\forall n \geq 4 $$ A continuación, encuentre la suma de los dígitos de $ a_{2021}$ .

Mi intento : La secuencia dada no hace ninguna progresión . Así que traté de calcular los términos más lejanos de la serie y traté de obtener una posible secuencia para los términos. Sin embargo, no tuve éxito. Luego intenté hacer una posible secuencia para la suma de los dígitos de los términos adicionales de la serie, ¡que también se arruinó! Ahora no tengo ni idea de cómo seguir con ese problema. Creo que formar una función de n como diferencia de dos términos ayudaría pero, por favor, ¿podríais sugerir cómo hacerla? Por favor, ayuda.

Answer 1

Para $n\geq 4$ que tenemos: $$a_{n+1}-a_{n-3}=(a_{n+1}+a_n+a_{n-1}+a_{n-2})-(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3})$$ $$=(n+1)^2-n^2=2n+1$$ De modo que $$a_{2021}=(2\cdot 2021 -1)+(2\cdot 2017-1)+\dots+(2\cdot5-1)+a_1 $$

¿Creo que puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Para $n\geq 5$

$a_n+(n-1)^2 =a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4}=$

$=n^2+a_{n-4}$

así que

$a_n=a_{n-4}+2n-1$

y en el caso $n=2021$ tienes que

$a_{2021}=2n-1+\sum_{k=1}^{504} (2(n-4k)-1)+a_5=$

$505(2n-1)-8\sum_{k=1}^{504}k+a_5=$

$=505(2n-1)-8\frac{504\cdot 505}{2}+a_5=$

$=505(2n-1-4\cdot 504)+a_5$

Answer 3

La homogénea lineal de la recurrencia de la $$ x_n = -x_{n-1} - x_{n-2} - x_{n-3} $$ con $x_0=1, x_{<0}=0$ se resuelve fácilmente mediante el cálculo directo y da buen resultado $$ (h_n)_n = (1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, \ldots) $$

Usted quiere resolver un homogéneade la recurrencia de la $$ a_n = -a_{n-1} - a_{n-2} - a_{n-3} + c_n $$ La solución de que es la suma de cambios en las versiones de la solución homogénea, escala por el $c_n$s: $$ a_n = \sum_{k\le n} c_k h_{n-k} $$

Ya sabemos que la $c_n$s $n\ge 4$, es decir,$c_n=n^2$, y se puede encontrar la primera $c_n$s tales que los valores iniciales conocidos de $a_n$ correcto: $$ c_1 = 1 \qquad c_2 = 5 \qquad c_3 = 10 $$ (a pesar de $c_2$ $c_3$ al final no importan). Poner esto juntos hemos $$ \begin{align} a_{2021} &= c_{2021}-c_{2020} + c_{2017}-c_{2016} + \cdots + c_5 - c_4 + c_1 \\&= 2021^2-2020^2 + 2017^2-2016^2 + \cdots + 5^2 - 4^2 + 1 \\&= (2\cdot 2020+1) + (2\cdot 2016+1) + \cdots + (2\cdot 4+1) + 1 \end{align} $$ y esta aritmética finita de la serie es fácil de suma.