Buscando valores propios de$H$

Question

Aquí está mi pregunta:

La dinámica de una partícula en movimiento unidimensional en un potencial $V(x)$ se rige por el Hamiltoniano $H_0 = p^2 /2m + V(x)$ donde $p = -i\hbar d/dx$ es el impulso del operador. Vamos $E^{(0)}_n$, $n =1,2,3...,$ ser los autovalores de $H_0$. Ahora considere la posibilidad de un nuevo Hamiltoniano $H = H_0 + \lambda p/m$ donde $\lambda$ es un parámetro dado. Dado $m$$E^{(0)}_n$, ¿Cómo puedo encontrar los autovalores de a $H$?

Este es mi trabajo:

Puedo ver que el nuevo Hamiltoniano es

$$H = H_0 + \lambda p/m = p^2/2m + \lambda p/m + V(x)$$

$$= (p + \lambda)^2 /2m + V(x) - \lambda^2/2m$$

Según mi maestro, los correspondientes autovalores son

$$E_n = E^{(0)}_n -\lambda^2/2m$$

Él encontró la ecuación

$$\psi = \psi^{(0)} e^{-i\lambda x/\hbar}$$

Pero yo no entendía su método de solución y que estaba tan confundida.

Saludos!

Answer 1

SUGERENCIA/ESQUEMA: La idea clave es darse cuenta de que el efecto sobre el Hamiltoniano, cuando el nuevo se vuelve a escribir como lo han hecho, parece una traducción en el impulso de espacio. Así que busca una transformación similar en los vectores propios: tratamos de $$\psi = \psi^{(0)} e^{-i\lambda x/\hbar}$$ ¿Cuál es, a continuación,$H\psi$? Veamos primero solo el operador $p + \lambda$ que aparece en: $ p $ \psi = \left(p \psi^{(0)}\right)e^{-i\lambda x/\manejadores} + \psi^{(0)}\left(-i\manejadores \frac{d(e^{-i\lambda x/\manejadores})}{dx}\right) = \left(p \psi^{(0)}\right)e^{-i\lambda x/\manejadores} - \lambda \psi \\ \por lo tanto (p + \lambda)\psi = p\psi + \lambda \psi = \left(p \psi^{(0)}\right)e^{-i\lambda x/\manejadores} $$ Por lo $p + \lambda$ actúa en $\psi$ "de la misma manera" como $p$ actúa en $\psi^{(0)}$. De hecho, para esto no es importante incluso que el $\psi^{(0)}$ es un autovector de la original. Así que usted puede aplicar una vez más, con $p\psi^{(0)}$ tomando el lugar de $\psi^{(0)}$ a ver lo $(p+\lambda)^2$. A continuación, es sencillo comprobar que cualquiera de dichas $\psi$ es un autovector de la nueva Hamiltonianos con autovalores dada por la ecuación tiene. Teniendo en cuenta la transformación inversa, también se puede mostrar que cualquier vector propio de la nueva Hamiltoniano debe ser de esta forma.