Sea G un grupo y H un subgrupo. Supongamos que N es un subgrupo normal de G que está contenido en H, y que $G/N\cong H/N$ . ¿Implica esto que $G\cong H$ ?
Si G es finito, entonces $G/N\cong H/N$ implica obviamente que $G=H$ por lo que sólo hay que considerar el caso inifinito. He intentado encontrar un contraejemplo (ya que esta proposición no parece verdadera), pero no he podido.
Hay contraejemplos.
Dejemos que $G$ sea $H\times K$ , donde $H$ es el producto directo de un número contable de copias de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ y $K$ es el producto directo de un número contable de copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y que $N=2H$ . Entonces $G/N$ y $H/N$ son ambos isomorfos a $K$ pero $G\not\cong H$ .
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Pequeña perorata: la respuesta a la pregunta del título es "sí", pero la respuesta a la pregunta del cuerpo es "no".