Definir, en $\mathbb{C}$ : $$G(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n^{2}}}{n^{z}}$$
Un retrato en color de dominio de $G(z)$ (se supone que las casillas son signos negativos):
sugiere que las raíces de $G(z)$ están igualmente espaciados a lo largo de líneas de componente real fija. Entonces:
Aproximadamente $G(z)$ por las dos primeras legislaturas, $g(z) := e^{-1} + e^{-4}/2^z$ . Los ceros de $g$ son $$- \frac{3}{\log 2} + (2k+1) \frac{\pi}{\log 2} i \approx - 4.328 + (2k+1) 4.532 i \ \mathrm{for} \ k \in \mathbb{Z}.$$ En particular, los ceros de $g$ están perfectamente espaciados de forma regular.
Tus ceros están bastante cerca de estos puntos, por lo que sospecho que la regularidad que estás viendo sólo significa que los ceros de $G$ son bastante cercanas a las de $g$ .
Numéricamente obtuve estas raíces con partes imaginarias crecientes :
$-4.3409477472 + i\ 4.4770216332$
$-4.2880579538 + i\ 13.633957460$
$-4.3851693625 + i\ 22.647453867$
$-4.2763847378 + i\ 31.711259005$
$-4.3658043306 + i\ 40.8352457753$
$-4.3147004415 + i\ 49.8019753881$
$-4.3083714889 + i\ 58.9723863592$
...
La regularidad y las expresiones analíticas para las raíces exactas parecen estar comprometidas.
EDIT2: Como se trata de una serie de Dirichlet (con coeficientes $c_n=e^{-n^2}$ ) y puesto que hay convergencia absoluta en todas partes (por la prueba M de Weierstrass, como ha observado Eric Naslund) podemos utilizar el propiedades analíticas de las series de Dirichlet para concluir que la abscisa de convergencia de la serie de Dirichlet es $-\infty$ para que $G$ es analítica en todo el plano. Aplicando la Teorema de factorización de Weierstrass deducimos que $G(z)$ puede escribirse como un producto que incluye sus raíces.
Los valores aproximados fueron muy bien presentados por David Speyer, así que vamos a compararlos con los valores reales. He tabulado las distancias entre las raíces reales y las aproximadas para obtener : $[0.056814, 0.054425, 0.058860, 0.053906, 0.057958, 0.055621, 0.055335]$
En cuanto a los argumentos (de las raíces reales) la diferencia entre los argumentos consecutivos $\mod (2 \pi)$ son : $[2.5436, 2.6434, 2.6083, 2.5665, 2.6760, 2.5343]$
Tanto la distancia como la rotación parecen regulares. Esto podría indicar que las raíces exactas "giran regularmente" alrededor de las raíces aproximadas como $k$ crece. En efecto, una "aproximación de segundo orden" para la raíz de índice k es :
$$\frac{-3}{\ln(2)} + \frac{(2k+1)\pi}{\ln(2)} i - \alpha e^{i(2k+1)\beta} \approx - 4.328 + (2k+1) 4.532 i - 0.05621 e^{-4.9793i(2k+1)}$$ $$\mathrm{with}\ \alpha=\frac{e^{3\frac{ln(3)}{\ln(2)}-8}}{\ln(2)},\ \beta=-\pi \frac{\ln(3)}{\ln(2)}\ \mathrm{and}\ k \in \mathbb{Z}.$$
Para conseguirlo he añadido un término a la aproximación de David: $g_3(z) := e^{-1} + e^{-4}/2^z + e^{-9}/3^z$
multiplicado por $e$ , considerado el $e^{1-9}/3^z$ término una "pequeña perturbación" de $1$ para obtener : $-e^{e^{-8}/3^z}\approx e^{-3-z\ln(2)}$ . Tomando los logaritmos de ambos lados y sustituyendo la z de la izquierda por la solución de "primer orden" se obtiene $z\approx \left(-3+(2k+1)i\pi-e^{-8-\ln(3)(-3+(2k+1)i\pi)/\ln(2)}\right)/\ln(2).$
Con esta nueva aproximación la distancia mediana es ahora $\approx 0.0023$ pero me abstendré de la búsqueda de epiciclos en esta nueva astronomía que todavía requiere un Kepler...
RAÍCES EXACTAS - Utilizando el mismo método (con los términos exactos a la izquierda en lugar de $-e^{e^{-8}/3^z}$ ) podemos encontrar las raíces exactas mediante iteraciones. Definamos : $$f_n(z)=1+e\sum_{m=3}^{n+1} \frac{e^{-m^2}}{m^z}\ \mathrm{and} \ r_1(k)=\frac{-3+(2 k+1) i \pi}{\ln(2)}$$
entonces la raíz correspondiente a $k$ se obtiene mediante iteraciones de : $$\ r_n(k)=r_1(k)-\frac{\ln(f_n(r_{n-1}(k))}{\ln(2)}$$
Ejemplo para $k=6$ :
$r_1(6)= -4.328085123 + i\ 58.92068184$
$r_2(6)= -4.310848945 + i\ 58.97454441$
$r_3(6)= -4.308195489 + i\ 58.97248418$
$r_4(6)= -4.308369505 + i\ 58.97237420$
$r_5(6)= -4.308372230 + i\ 58.97238650$
$r_6(6)= -4.308371466 + i\ 58.97238640$
$r_7(6)= -4.308371487 + i\ 58.97238636$
$r_8(6)= -4.308371489 + i\ 58.97238636$
(la distancia del valor real es superior a $16$ veces menor en cada iteración, lo mismo ocurre con $k=0$ ).
¡Buen problema!
OTRAS CAPAS - Investiguemos la "segunda capa" detectada por deoxygerbe con primeras raíces en :
$-12.3840905498065732 + i\ 7.69101465838042938$
$-12.2523952898036964 + i\ 23.2196214862555024$
$-12.3153823799387642 + i\ 38.8071497678513693$
La "primera capa" fue generada por las soluciones de $0=e^{-1^2}/1^z+e^{-2^2}/2^z$ (primer+segundo término de la serie).
La "segunda capa" parece haber sido generada por las soluciones de $0=e^{-2^2}/2^z+e^{-3^2}/3^z$ (segundo+tercer término de la serie). Las soluciones pueden obtenerse a partir de las anteriores con la sustitución de $-3=1^2-2^2$ por $-5=2^2-3^2$ y de $\ln(2)=\ln(2/1)$ por $\ln(3/2)$ para obtener : $$r^{(2)}(k)=\frac{-5+(2k+1)i\pi}{\ln(\frac32)}$$
He utilizado la notación $r^{(2)}_k$ con el pensamiento (¡confortado por su clara imagen!) de que deben existir otras capas cerca de : $$r^{(L)}(k)=\frac{-(2L+1)+(2k+1)i\pi}{\ln(\frac{L+1}{L})}$$
En efecto, una solución cercana a $r^{(3)}(0)$ (la "tercera capa" en $x\approx -24.33$ ) es : $-24.400057077391736+ i\ 10.878966908988947$ .
Además, la abscisa de la "cuarta capa" cerca de $-40.33$ con ordenadas cerca de $14.0$ y $42.2$ parecen corresponder bastante bien a su imagen.
De todos modos vamos a tratar de manejar todas las capas a la vez y definir : $$f^{(L)}_n(z)=e^{L^2}L^z\left(\sum_{m=1}^{n+1} \frac{e^{-m^2}} {m^z}- \frac{e^{-(L+1)^2}}{(L+1)^z}\right)$$ $$r^{(L)}_1(k)=\frac{-(2 L+1)+(2 k+1) i \pi}{\ln(\frac{L+1}{L})}$$
entonces la raíz correspondiente a $k$ en la capa $L$ debe obtenerse mediante iteraciones de : $$\ r^{(L)}_n(k)=r^{(L)}_1(k)-\frac{\ln(f^{(L)}_n(r^{(L)}_{n-1}(k))}{\ln(\frac{L+1}{L})}$$
Esto parece proporcionar todas las raíces "visibles", pero no excluyo la existencia de otras familias (que implican, por ejemplo, el primer y el tercer término), después de todo, me perdí una infinidad de capas... :-)
No necesitamos utilizar la continuación analítica, ni las propiedades de las series de Dirichlet, ya que los coeficientes disminuyen muy rápidamente. La serie converge absolutamente en todo el plano, por lo que la $M$ - la prueba nos dice que es analítica en todas partes.
@RaymondManzoni: ¡gracias! Probablemente voy a hacer un fractal del método de Newton de $G(z)$ en breve. (el hecho de que no pueda generar inmediatamente un producto de Euler de esta función porque $e^{-n^{2}}$ no es completamente multiplicativo me está molestando actualmente)
Además, ¿qué pasa con las otras capas de raíces? He utilizado el findroot de mpmath con el método muller y el valor inicial de $-20-3i$ and got mpc(real='-12.3840905498065732526323865513203', imag='7.69101465838042938331130479138366')
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