Regularidad del espaciamiento de las raíces de $G(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n^{2}}}{n^{z}}$

Question

Definir, en $\mathbb{C}$ : $$G(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n^{2}}}{n^{z}}$$

Un retrato en color de dominio de $G(z)$ (se supone que las casillas son signos negativos):

sugiere que las raíces de $G(z)$ están igualmente espaciados a lo largo de líneas de componente real fija. Entonces:

• ¿Son las raíces de $G(z)$ espaciados regularmente para algunas $\Re(z)$ ? y si es así:
• ¿Existen expresiones analíticas para las raíces?
• Puede $G(z)$ expresado como un producto de Weierstrass?

Answer 1

Aproximadamente $G(z)$ por las dos primeras legislaturas, $g(z) := e^{-1} + e^{-4}/2^z$ . Los ceros de $g$ son $$- \frac{3}{\log 2} + (2k+1) \frac{\pi}{\log 2} i \approx - 4.328 + (2k+1) 4.532 i \ \mathrm{for} \ k \in \mathbb{Z}.$$ En particular, los ceros de $g$ están perfectamente espaciados de forma regular.

Tus ceros están bastante cerca de estos puntos, por lo que sospecho que la regularidad que estás viendo sólo significa que los ceros de $G$ son bastante cercanas a las de $g$ .

Answer 2

Numéricamente obtuve estas raíces con partes imaginarias crecientes :

$-4.3409477472 + i\ 4.4770216332$
$-4.2880579538 + i\ 13.633957460$
$-4.3851693625 + i\ 22.647453867$
$-4.2763847378 + i\ 31.711259005$
$-4.3658043306 + i\ 40.8352457753$
$-4.3147004415 + i\ 49.8019753881$
$-4.3083714889 + i\ 58.9723863592$
...

La regularidad y las expresiones analíticas para las raíces exactas parecen estar comprometidas.

EDIT2: Como se trata de una serie de Dirichlet (con coeficientes $c_n=e^{-n^2}$ ) y puesto que hay convergencia absoluta en todas partes (por la prueba M de Weierstrass, como ha observado Eric Naslund) podemos utilizar el propiedades analíticas de las series de Dirichlet para concluir que la abscisa de convergencia de la serie de Dirichlet es $-\infty$ para que $G$ es analítica en todo el plano. Aplicando la Teorema de factorización de Weierstrass deducimos que $G(z)$ puede escribirse como un producto que incluye sus raíces.

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Los valores aproximados fueron muy bien presentados por David Speyer, así que vamos a compararlos con los valores reales. He tabulado las distancias entre las raíces reales y las aproximadas para obtener : $[0.056814, 0.054425, 0.058860, 0.053906, 0.057958, 0.055621, 0.055335]$

En cuanto a los argumentos (de las raíces reales) la diferencia entre los argumentos consecutivos $\mod (2 \pi)$ son : $[2.5436, 2.6434, 2.6083, 2.5665, 2.6760, 2.5343]$

Tanto la distancia como la rotación parecen regulares. Esto podría indicar que las raíces exactas "giran regularmente" alrededor de las raíces aproximadas como $k$ crece. En efecto, una "aproximación de segundo orden" para la raíz de índice k es :

$$\frac{-3}{\ln(2)} + \frac{(2k+1)\pi}{\ln(2)} i - \alpha e^{i(2k+1)\beta} \approx - 4.328 + (2k+1) 4.532 i - 0.05621 e^{-4.9793i(2k+1)}$$ $$\mathrm{with}\ \alpha=\frac{e^{3\frac{ln(3)}{\ln(2)}-8}}{\ln(2)},\ \beta=-\pi \frac{\ln(3)}{\ln(2)}\ \mathrm{and}\ k \in \mathbb{Z}.$$

Para conseguirlo he añadido un término a la aproximación de David: $g_3(z) := e^{-1} + e^{-4}/2^z + e^{-9}/3^z$
multiplicado por $e$ , considerado el $e^{1-9}/3^z$ término una "pequeña perturbación" de $1$ para obtener : $-e^{e^{-8}/3^z}\approx e^{-3-z\ln(2)}$ . Tomando los logaritmos de ambos lados y sustituyendo la z de la izquierda por la solución de "primer orden" se obtiene $z\approx \left(-3+(2k+1)i\pi-e^{-8-\ln(3)(-3+(2k+1)i\pi)/\ln(2)}\right)/\ln(2).$

Con esta nueva aproximación la distancia mediana es ahora $\approx 0.0023$ pero me abstendré de la búsqueda de epiciclos en esta nueva astronomía que todavía requiere un Kepler...

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RAÍCES EXACTAS - Utilizando el mismo método (con los términos exactos a la izquierda en lugar de $-e^{e^{-8}/3^z}$ ) podemos encontrar las raíces exactas mediante iteraciones. Definamos : $$f_n(z)=1+e\sum_{m=3}^{n+1} \frac{e^{-m^2}}{m^z}\ \mathrm{and} \ r_1(k)=\frac{-3+(2 k+1) i \pi}{\ln(2)}$$

entonces la raíz correspondiente a $k$ se obtiene mediante iteraciones de : $$\ r_n(k)=r_1(k)-\frac{\ln(f_n(r_{n-1}(k))}{\ln(2)}$$

Ejemplo para $k=6$ :

$r_1(6)= -4.328085123 + i\ 58.92068184$
$r_2(6)= -4.310848945 + i\ 58.97454441$
$r_3(6)= -4.308195489 + i\ 58.97248418$
$r_4(6)= -4.308369505 + i\ 58.97237420$
$r_5(6)= -4.308372230 + i\ 58.97238650$
$r_6(6)= -4.308371466 + i\ 58.97238640$
$r_7(6)= -4.308371487 + i\ 58.97238636$
$r_8(6)= -4.308371489 + i\ 58.97238636$

(la distancia del valor real es superior a $16$ veces menor en cada iteración, lo mismo ocurre con $k=0$ ).
¡Buen problema!

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OTRAS CAPAS - Investiguemos la "segunda capa" detectada por deoxygerbe con primeras raíces en :

$-12.3840905498065732 + i\ 7.69101465838042938$
$-12.2523952898036964 + i\ 23.2196214862555024$
$-12.3153823799387642 + i\ 38.8071497678513693$

La "primera capa" fue generada por las soluciones de $0=e^{-1^2}/1^z+e^{-2^2}/2^z$ (primer+segundo término de la serie).

La "segunda capa" parece haber sido generada por las soluciones de $0=e^{-2^2}/2^z+e^{-3^2}/3^z$ (segundo+tercer término de la serie). Las soluciones pueden obtenerse a partir de las anteriores con la sustitución de $-3=1^2-2^2$ por $-5=2^2-3^2$ y de $\ln(2)=\ln(2/1)$ por $\ln(3/2)$ para obtener : $$r^{(2)}(k)=\frac{-5+(2k+1)i\pi}{\ln(\frac32)}$$

He utilizado la notación $r^{(2)}_k$ con el pensamiento (¡confortado por su clara imagen!) de que deben existir otras capas cerca de : $$r^{(L)}(k)=\frac{-(2L+1)+(2k+1)i\pi}{\ln(\frac{L+1}{L})}$$

En efecto, una solución cercana a $r^{(3)}(0)$ (la "tercera capa" en $x\approx -24.33$ ) es : $-24.400057077391736+ i\ 10.878966908988947$ .

Además, la abscisa de la "cuarta capa" cerca de $-40.33$ con ordenadas cerca de $14.0$ y $42.2$ parecen corresponder bastante bien a su imagen.

De todos modos vamos a tratar de manejar todas las capas a la vez y definir : $$f^{(L)}_n(z)=e^{L^2}L^z\left(\sum_{m=1}^{n+1} \frac{e^{-m^2}} {m^z}- \frac{e^{-(L+1)^2}}{(L+1)^z}\right)$$ $$r^{(L)}_1(k)=\frac{-(2 L+1)+(2 k+1) i \pi}{\ln(\frac{L+1}{L})}$$

entonces la raíz correspondiente a $k$ en la capa $L$ debe obtenerse mediante iteraciones de : $$\ r^{(L)}_n(k)=r^{(L)}_1(k)-\frac{\ln(f^{(L)}_n(r^{(L)}_{n-1}(k))}{\ln(\frac{L+1}{L})}$$

Esto parece proporcionar todas las raíces "visibles", pero no excluyo la existencia de otras familias (que implican, por ejemplo, el primer y el tercer término), después de todo, me perdí una infinidad de capas... :-)