Este es el problema 8.7.4 del libro de Evans sobre las EDP.
Supongamos que $\eta: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es $C^1$ . Demostrar que $L(P,z,x) = \eta(z) \det P$ es un lagrangiano nulo. Aquí $P$ es un $n \times n$ matriz y $z \in \mathbb{R}^n$ .
Probar que una función es un lagrangiano nulo puede hacerse de dos maneras (equivalentes). La primera consiste en demostrar que cualquier función suave $u \in C^\infty(\Omega, \mathbb{R}^n)$ resuelve el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange $$ -\sum_{i=1}^n \left( L_{p_i^k}(Du,u,x) \right)_{x_i} + L_{z^k}(Du,u,x) = 0 \quad \text{ in } \Omega\,, \quad k \in \{1, 2, ..., n\}\,. $$ La otra forma es demostrar que si $f,g \in C^\infty(\Omega, \mathbb{R}^n)$ y $f=g$ en $\partial \Omega$ entonces $$ \int_\Omega L(Df, f, x) \, dx = \int_\Omega L(Dg, g, x)\,. $$
Mi intento: He intentado resolver el problema utilizando el enfoque de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Calculando las derivadas obtenemos \begin{align} \sum_{i=1}^n \left( L_{p_i^k}(Du,u,x) \right)_{x_i} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \eta_{z^j} (u) u^j_{x_i} (\operatorname{cof} Du)_i^k - \eta(u) \sum_{i=1}^n (\operatorname{cof} Du)_{i, x_i}^k\,. \end{align} Aquí he utilizado la identidad $\partial_{p_i^k} \det P = (\operatorname{cof} P)_i^k$ . Ahora en el último término la suma de cofactores desaparece por el lema del capítulo 8.1 de Evans. Para el primer término podemos utilizar la expansión de Laplace $\det (Du) = \sum_{i=1}^n u^k_{x_i} (\operatorname{cof} Du)_i^k$ y obtenemos $$ \sum_{i=1}^n \left( L_{p_i^k}(Du,u,x) \right)_{x_i} = \eta_{z^k} \det Du + \sum_{j\neq k} \eta_{z^j}(u) \sum_{i=1}^n u^j_{x_i} (\operatorname{cof} Du)_i^k $$
Ahora, porque $L_{z^k}(Du,u,x) = \eta_{z^k} \det Du$ las ecuaciones de Euler-Lagrange son \begin{align} - \sum_{j\neq k} \eta_{z^j}(u) \sum_{i=1}^n u^j_{x_i} (\operatorname{cof} Du)_i^k &= 0\,, \quad k \in \{1,2, ..., n\}\,. \end{align} No tengo ni idea de por qué una función suave arbitraria debería resolver esta ecuación, así que supongo que investigando la integral $\int L(Du,u,x)$ puede ser un enfoque más fructífero.
