Algebra y matrices.

Question

P. Resuelva para$x$,$y$ y$z$ si

$$(x+y)(x+z)=15, $ $$$(y+z)(y+x)=18, $ $$$(z+x)(z+y)=30. $ $

Solución: expandí cada ecuación anterior como:

$$x^2+xz+yx+yz=15, \tag{1}$ $$$y^2+xz+yx+yz=18, \tag{2}$ $$$z^2+xz+yx+yz=30. \tag{3}$ $

Luego resté$(1)-(3)$,$(2)-(1)$ y$(3)-(2)$; así que tengo las ecuaciones de la siguiente manera:$$x^2-z^2=-15 \tag{4}$ $$$y^2-x^2=3 \tag{5}$ $$$z^2-y^2=12 \tag{6}$ $

Luego intenté resolver$(4)$,$(5)$,$(6)$ usando matrices, pero no pude encontrar ninguna solución.

Por favor avise. Gracias.

Answer 1

Tomar $x+y=a,y+z=b,x+z=c$. Entonces tienes

$ac=15\quad[1]$

$ab=18\quad[2]$

$bc=30\quad[3]$

Multiplica para obtener$(abc)^2=8100$, obteniendo así$abc=90$.

Divide por$[1],[2],[3]$ por separado para obtener

$a=3$

$b=6$

$c=5$

Ahora, sustituye a obtener

$x+y=3\quad[4]$

$y+z=6\quad[5]$

$x+z=5\quad[6]$

Añadir para obtener$x+y+z=7$

Resta por separado para obtener

$x=1,y=2,z=4$.

EDITAR

Como @hkBst señaló, también podríamos obtener$abc=-90$, dando así

$x=-1,y=-2,z=-4$.