En primer lugar, no soy un experto en nada de esto pero puedo derivar un límite similar al tuyo pero algo más general.
Rotemos el sistema de coordenadas de forma que $\vec{q}$ está apuntando en el $x$ -y realicemos la integral en $x$ -Dirección primero.
Dejemos que $L = \frac{2\pi}{|\vec{q}|}$ . Para cualquier $(y,z) \in \mathbb{R}^2$ , dejemos que $l_{(y,z)}$ sea la intersección de $A$ con la línea recta que pasa por $(0,y,z)$ en paralelo a $x$ -eje.
Si $l_{(y,z)} \neq \emptyset$ y su longitud $\mu(l_{(y,z)})$ es más largo que $L$ la contribución de cualquier subsegmento cuya longitud sea un múltiplo de $L$ se cancelará a sí mismo. En general, podemos acotar la integral sobre $l_{(y,z)}$ como:
$$\left|\int_{l_{(y,z)}} e^{-i \frac{2\pi x}{L}} dx\right| = \left|\int_0^{\mu(l_{(y,z)})} e^{-i \frac{2\pi x}{L}} dx \right| \le \left|\int_0^{\frac{L}{2}} e^{-i \frac{2\pi x}{L}} dx \right| = \frac{L}{\pi}$$
Dejemos que $P$ sea la proyección de $V$ en el $yz$ -La integral sobre $A$ está limitada por:
$$\left|\int_A e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} d\vec{x}\right| = \left|\int_{(y,z) \in P} \left(\int_{l_{(y,z)}} e^{-i \frac{2\pi x}{L}} dx \right) dy dz\right| \le \int_{(y,z)\in P} \frac{L}{\pi} dy dz = \frac{2 \mu(P)}{|\vec{q}|}$$ donde $\mu(P)$ es el área de $P$ .
Esto significa que para el general $\vec{q}$ si dejamos que $\mu(P_{\vec{q}})$ sea el área de la proyección ortogonal de $A$ en un plano perpendicular a $\vec{q}$ entonces la integral estará acotada por
$$\left|\int_A e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} d\vec{x}\right| \le \frac{2 \mu(P_{\vec{q}})}{|\vec{q}|}$$
Para el caso especial de que $A$ es un bloque rectangular de dimensiones $L_1 \times L_2 \times L_3$ Esto se reduce al límite que has derivado.
ACTUALIZACIÓN
Esta es la peor dependencia del caso. Sea $q$ sea $|\vec{q}|$ . Para el caso de un bloque rectangular. Si $\vec{q}$ es perpendicular a una cara de $A$ la integral cae a una tasa proporcional a $\frac{1}{q}$ .
Si $\vec{q}$ no es perpendicular a ninguna cara de $A$ La integral caerá más rápido.
Dejemos que $P_x$ sea la intersección de $A$ con un plano que pasa por $(x,0,0)$ paralela a la $yz$ -plano. Sea $f(x) = \mu(P_x)$ sea su área y $[a,b]$ sea el soporte de $f$ . La integral se puede reescribir como
$$\int_{A} e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} d\vec{x} = \int_a^b \left( \int_{P_x} dy dz \right) e^{-iqx} dx = \int_a^b f(x) e^{-iqx} dx\tag{*1}$$
Dejemos que $a = b_0 < b_1 < \cdots < b_n = b$ sean aquellos $x$ donde $P_x$ contienen un vértice de $A$ . Cuando $\vec{q}$ no es perpendicular a ninguna cara de $A$ es fácil de verificar:
- $f(x)$ es continua sobre $[a,b]$ .
- Si $P_{b_i}$ contiene una arista de $A$ , $f'$ suelen desarrollar un salto en $b_i$ .
- Si $P_{b_i}$ no contiene ningún borde de $A$ , $f'$ será continua pero $f''$ suelen desarrollar un salto en $b_i$ .
- En cada $( b_{i-1}, b_i )$ , $f(x)$ es un polinomio de grado máximo 2.
El R.H.S de $(*1)$ se puede reescribir como
$$\begin{align}\int_a^b f(x) e^{-i qx} dx &= \sum_{i=1}^n \int_{b_{i-1}}^{b_i} f(x) e^{-iqx} dx\\ &= \frac{1}{-iq}\sum_{i=1}^n \int_{b_{i-1}}^{b_i} f(x) d e^{-iqx}\\ &= \frac{1}{-iq}\sum_{i=1}^n \left( \left[ f(x) e^{-iqx} \right]_{b_{i-1}}^{b_{i}} - \int_{b_{i-1}}^{b_i} f'(x) e^{-iqx} dx \right)\\ &= \frac{1}{-iq}\left( \left[f(x) e^{-iqx}\right]_a^b - \sum_{i=1}^n \int_{b_{i-1}}^{b_i} f'(x) e^{-iqx} dx\right)\\ &= \frac{1}{iq} \sum_{i=1}^n \int_{b_{i-1}}^{b_i} f'(x) e^{-iqx} dx\\ &= \frac{1}{q^2} \sum_{i=1}^n \int_{b_{i-1}}^{b_i} f'(x) d e^{-iqx}\\ &= \frac{1}{q^2} \sum_{i=1}^n \left( \left[ f'(x) e^{-iqx } \right]_{b_{i-1}}^{b_{i}} - \int_{b_{i-1}}^{b_i} f''(x) e^{-iqx} dx\right)\tag{*2} \end{align}$$ De esto, vemos que la integral cae al menos a una tasa $\frac{1}{q^2}$ .
Además, si $\vec{q}$ no es perpendicular a ninguna arista/cara de $A$ entonces no $P_{b_i}$ contiene cualquier arista de $A$ y $f'$ será continua a lo largo de $[a,b]$ . El término en $(*2)$ :
$$\sum_{i=1}^n \left[ f'(x) e^{-iqx } \right]_{b_{i-1}}^{b_{i}}$$
se cancela y se integra por partes una vez más, se encuentra que la integral cae aún más rápido a una tasa $\frac{1}{q^3}$ .
ACTUALIZACIÓN2
Dejemos que $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_m$ sea la lista de vértices de $A$ . Para cada vértice $\vec{x}_a$ , dejemos que $\hat{n}_{a0}, \hat{n}_{a1}, \ldots, \hat{n}_{an_a} = \hat{n}_{a0}$ sea una lista de vectores unitarios que apuntan desde $\vec{x}_a$ a un vértice conectado a $\vec{x}_a$ . La lista de vectores unitarios están ordenados de tal manera cuando se ven desde fuera de $A$ rodean $\vec{x}_a$ en sentido contrario a las agujas del reloj. Sea $\hat{q}$ sea el vector unitario en dirección a $\vec{q}$ . Para $\vec{q}$ en dirección general, la integral tiene la siguiente expresión de forma cerrada:
$$\hat{\chi}_A(\vec{q}) = \sum_{a=1}^{m} \frac{ e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}_a} }{i q^3} \sum_{b=1}^{n_a} \frac{ \hat{n}_{a(b-1)} \cdot \hat{n}_{ab} \times \hat{q}}{(\hat{n}_{a(b-1)}\cdot \hat{q})(\hat{n}_{ab}\cdot\hat{q}) } $$
ACTUALIZACIÓN3 (cómo derivar la fórmula en ACTUALIZACIÓN2 )
Consideremos el caso del origen $\vec{0}$ es uno de los vértices y la célula se encuentra completamente en el semiespacio $\vec{x} \cdot \hat{q} \le 0$ . Supongamos que el origen está conectado a 3 vértices $\vec{x}_1$ , $\vec{x}_2$ y $\vec{x}_3$ para que $\vec{x}_i \cdot \hat{q} < 0$ y $\vec{x}_1 \cdot ( \vec{x}_2 \times \vec{x}_3 ) > 0$ . Sea $\hat{n}_i = \frac{\vec{x}_i}{|\vec{x}_i|}$ sean los vectores unitarios correspondientes.
Si se cruza la celda con el hiperespacio $H_t = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 : \vec{x} \cdot \hat{q} \ge t \}$ . La intersección estará vacía cuando $t > 0$ . Cuando $t < 0$ la intersección es un tetraedro con volumen:
$$\mu( A \cap H_t ) = \frac{-t^3}{6}\frac{\hat{n}_1 \cdot ( \hat{n}_2 \times \hat{n}_3 )}{(\hat{n}_1\cdot -\hat{q})(\hat{n}_2\cdot -\hat{q})(\hat{n}_3\cdot -\hat{q})}$$
Esto implica la intersección de $A$ con el hiperlugar $P_t = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 : \vec{x} \cdot \hat{q} = t \}$ es un triángulo con área:
$$\begin{align} & f(t) = \mu( A \cap P_t ) = \frac{t^2}{2} \frac{\hat{n}_1 \cdot ( \hat{n}_2 \times \hat{n}_3 )}{(\hat{n}_1\cdot -\hat{q})(\hat{n}_2\cdot -\hat{q})(\hat{n}_3\cdot -\hat{q})}\\ \implies & f''(t) = \frac{\hat{n}_1 \cdot ( \hat{n}_2 \times \hat{n}_3 )}{(\hat{n}_1\cdot -\hat{q})(\hat{n}_2\cdot -\hat{q})(\hat{n}_3\cdot -\hat{q})}\tag{*3} \end{align}$$ Enchufe $(*3)$ en $(*2)$ e integrar te dará la contribución de este vértice.
Para el caso más general cuando $\vec{0}$ está conectado a $m > 3$ vértices $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_m$ (dispuestos en el orden descrito en ACTUALIZACIÓN2 ). Se rompe la esquina de $A$ en $\vec{0}$ en $m$ subesquinas:
$$( \hat{n}_2, \hat{n}_1, -\hat{q} ), ( \hat{n}_3, \hat{n}_2, -\hat{q} ), \ldots, ( \hat{n}_1, \hat{n}_m, -\hat{q} )$$
Aplicar la fórmula $(*3)$ a cada subesquina y sumar su contribución. Después de un pequeño reordenamiento, te dará la fórmula en ACTUALIZACIÓN2 .
En la fórmula, notarás que hay un montón de factores $\hat{n}\cdot\hat{q}$ en el denominador. Cuando $\vec{q}$ es perpendicular a una arista o a una cara, una o varias de ellas se convertirán en cero. Sin embargo, si se agrupan todos los términos de la fórmula asociados a una arista o cara, entonces en el límite cuando estos $\hat{n}\cdot\hat{q}$ se convierten en cero, sus divergencias se cancelan y te dan la $O(\frac{1}{q^2})$ y/o $O(\frac{1}{q})$ comportamiento asintótico principal.
La derivación es bastante complicada y no la reproduciré aquí. Sin embargo, para el caso en que $\vec{q} \perp$ a algunas caras de $A$ Hay una derivación mucho más sencilla:
$$\int_A e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} d^{3}\vec{x} = -\frac{1}{q^2} \int_A \nabla^2 e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} d^{3}\vec{x} = -\frac{1}{q^2} \int_{\partial A} ( \nabla e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} ) \cdot dS = \frac{i}{q} \int_{\partial A} e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} \hat{q} \cdot dS $$
Dividir $\partial A$ el límite de $A$ en rostros individuales. Inmediatamente vemos que para cada cara $F \perp$ a $\vec{q}$ , $e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}}$ es constante en esa cara y lleva a una $\frac{1}{q}$ contribución proporcional a la superficie:
$$ \frac{i}{q} e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}} (\pm\mu(F)) $$
(el $\pm$ signo anterior depende de si $\hat{q}$ apunta a lo largo de las normales exteriores de $F$ ).
Resumen
$$\left|\hat{\chi}_A(\vec{q})\right| \sim \begin{cases} O(\frac{\sum_{F\perp\vec{q}}\mu(F)}{q}), & \vec{q} \perp \text{ some faces F of }A.\\ O(\frac{\sum_{E\perp\vec{q}}\mu(E)}{q^2}), & \vec{q} \perp \text{ some edges E but not any faces of }A.\\ O(\frac{1}{q^3}), & \text{ otherwise. } \end{cases}$$
