Recordando las direcciones de las flechas en la teoría básica de categorías.

Question

¿Hay una manera fácil de recordar la dirección de las flechas entre los morfismos en Categorías?

La dirección de las flechas me confunde: productos y co-productos, ( EDITAR - También, pull-backs, pushouts, contra / co-variant functors) y sus propiedades de mapeo universales. Tengo que mirar hacia atrás en el Álgebra de Lang y revisarlo cada vez.

Por favor diga si la pregunta no es apropiada.

Answer 1

Creo que la mejor manera de recordar estas cosas es tener un buen ejemplo de cada una de estas construcciones en su cabeza. Si recuerdas la dirección de las flechas para ellos, y si el ejemplo es "natural" como la dirección será obvio, usted tendrá la dirección, en el caso general. Pero tenga cuidado, a veces dos construcciones producirán las mismas cosas en ejemplos concretos de manera que usted desea tener ejemplos que distinguir entre las diversas nociones. Un ejemplo de esto es que finito y productos finitos de co-productos tienen un hábito de ser el mismo en las categorías en las que la búsqueda de ejemplos (categorías de aditivos como las categorías de representaciones).

Answer 2

Además de tener un buen ejemplo claro en mente: productos cartesianos para productos, uniones desunidas para coproductos, paquetes de retracción para retiros, ... una forma que he encontrado útil para recordar las direcciones de las flechas que involucran objetos universales es que las flechas deben tener en cuenta objeto universal

Answer 3

Para la mayoría de las propiedades universales del objeto universal es la más pequeña que cumple cierta propiedad. Por ejemplo, el producto es el "objeto más pequeño", que le permite completar su diagrama, de manera que cualquier cosa que satisface también se proyectan sobre el producto (esto requiere recordar los mapas para el producto son las proyecciones y no inyecciones). Asimismo, el subproducto que se supone será el "objeto más pequeño" que permite que usted para completar su diagrama, por lo que no debería ser una inyección de la subproducto de cualquier otra cosa. La intuición de ser pequeño es porque los mapas en el universal de la propiedad son únicos.

Answer 4

Yo tenía las mismas dificultades. Recuerdo las direcciones de las flechas en el caso de un producto (porque sólo hay una dirección en la que tiene sentido para productos en general) y el hecho de que un producto es un límite. Las flechas en todos los demás límites de ir en la misma dirección, las flechas en todos los colimits ir en otras direcciones.

Todo lo que tienes que recuerdo ahora es si un objeto es un límite o una colimit. En muchos casos, esto está claro desde el nombre: Si hay un X y un co-X, entonces lo más probable es que el co-X cosa será el colimit.

Por otro lado: no Es realmente necesario recordar las teclas de direcciones en todo detalle. En la mayoría de los ejemplos de la categoría básica de la teoría de la flecha instrucciones son claras a partir de la aplicación, e incluso si no lo son: no importa para la prueba desde el más elemental de la categoría de pruebas de trabajo de la misma manera para Xs y co-Xs.

Answer 5

Me gusta pensar en este tipo de propiedades en la forma que tome para los conjuntos. Por ejemplo, recuerdo que estaba muy sorprendida de que el fibrado producto en realidad era más bien una cosa familiar (pares ordenados que se encuentran en el mismo punto en la base) después de leer la sección en Hartshorne, que acabamos de hablar acerca de la universal de los bienes, Yoneda del lema significa que usted puede restringir el mismo para el caso de Conjuntos en la demostración de resultados acerca de ellos (Grothendieck pasa algún tiempo en este EGA 0 y ofrece un montón de detalles).

Para la cooperación de las cosas, sin embargo, usted tiene que hom fuera de ellos. Un mapa fuera de un cociente A/B es la misma cosa como un mapa de Una que se desvanece en B. Así, de manera más general, los mapas fuera de co cosas satisfacer agradable propiedades.