Usar el análisis de Fourier para mostrar una función es positivo.

Question

Dejar

PS

en $$f(x)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{i nx}}{n^2+1}$. Demuestre que$[-\pi, \pi]$ para cualquier$f(x)>0$.

¿Cómo usar el análisis de Fourier para mostrar que la función es positiva? Intento diferenciarlo, pero parece que el derivado no es convergente. ¿Derecha?

Answer 1

La positividad

Desde $$ \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-inx}\,\mathrm{d}x=\frac1\pi\frac1{n^2+1} $$ tenemos $$ \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-|x+2k\pi|}e^{-inx}\,\mathrm{d}x=\frac1{n^2+1} $$ Por lo tanto, la inversión de la transformación, obtenemos $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{e^{inx}}{n^2+1}=\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-|x+2k\pi|} $$

---

La convergencia de la Derivada

La derivada converge en todas partes excepto en $x\in2\pi\mathbb{Z}$. Sin embargo, la convergencia es condicional. Podemos aplicar la Generalizada Dirichlet Convergencia de Pruebapara $$ \sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{ine^{inx}}{n^2+1} $$ desde $\frac{in}{n^2+1}$ se ha acotado la variación, tiende a $0$$|n|\to\infty$, y las sumas parciales de $\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}e^{inx}$ son acotados, excepto donde se $e^{ix}=1$.

---

La motivación

Lo que me impulsó a buscar en $e^{-|x|}$ fue para nota de que la segunda derivada de $$ f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{e^{inx}}{n^2+1} $$ es $$ f"(x)=-\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{n^2e^{inx}}{n^2+1} $$ que no converge en la norma de sentido, sino en el sentido de las distribuciones $$ \begin{align} f(x)-f''(x) &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{inx}\\ &=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta(x-2k\pi) \end{align} $$ donde $\delta(x)$ es la delta de Dirac de distribución, que es$0$$2\pi\mathbb{Z}$. Ahora, dos soluciones a$f(x)-f''(x)=0$$e^x$$e^{-x}$, por lo que esto trajo a la mente $e^{-|x|}$, cuya primera derivada tiene un salto de discontinuidad, lo que llevaría a una delta de Dirac distribución en $x=0$.

La adición de $$ \int_0^\infty e^{-x}e^{-inx}\,\mathrm{d}x=\frac1{1+} $$ y $$ \int_{-\infty}^0e^xe^{-inx}\,\mathrm{d}x=\frac1{1} $$ dio $$ \int_0^\infty e^{-|x|}e^{-inx}\,\mathrm{d}x=\frac2{1+n^2} $$ que es donde se inició la primera sección.

Answer 2

Sugerencia: $$ f (x) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {e} ^ {i nx}} {n ^ 2 +1} = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ cos nx + i \ sin nx} {n ^ 2 +1} = \ cdots $$ ¿Qué sucede con la parte imaginaria ($\sin$ es impar)?