Dos teoremas:
$(1)$ Contables de la Unión de Contable de Conjuntos Contables
$(2)$ Producto cartesiano de Conjuntos Contables Contables es
Vinculadas son las pruebas en Proofwiki.
No entiendo por qué tenía que usar el Axioma de Contables Elección (ACC) de la primera prueba, pero resuelto con "a partir de la definición de contable" en el segundo. Creo que el $(1)$ debe depender de ACC iff $(2)$ depende de ello.
La diferencia es que en la segunda prueba solo tenemos que hacer dos elecciones: para cada una de$S$ y$T$ debemos elegir una inyección en$\Bbb N$. Hacer un número finito de elecciones no requiere ningún axioma de elección. Sin embargo, en la primera prueba, debemos hacer infinitas opciones, ya que debemos elegir una inyección de cada uno de los conjuntos$S_n$ en$\Bbb N$, y eso requiere algún principio de elección.
Yo también estaba un poco confundido cuando vi por primera vez este ejemplo. Creo que la situación se clarifica mediante la introducción de la terminología siguiente: decir que una contado conjunto es una contables set $S$ junto con un bijection $\mathbb{N} \to S$. Es cierto, en ZF, que
El producto Cartesiano de dos contado conjuntos es de contado.
Finito de elección, que es verdadero en ZF, implica entonces que un producto Cartesiano de dos conjuntos contables es contable. Esto a su vez implica, de nuevo en ZF, que
Una contables de la unión de contado conjuntos es de contado.
A partir de aquí, para pasar a la afirmación de que una contables de la unión de contable de conjuntos contables, tenemos que girar a la countably muchos cuentan los conjuntos numerables de conjuntos, y esto requiere de alguna forma de contables elección. Pero el teorema anterior es lo suficientemente bueno para la mayoría de las aplicaciones de todos modos. Rara vez se sabe que una familia de conjuntos contables sin ser capaz explícitamente encontrar bijections de cada uno de los conjuntos de a $\mathbb{N}$.
El axioma de elección, nos permite realizar muchas opciones al mismo tiempo.
Es cierto, sin el axioma de elección, que si $(A_i,f_i)_{i\in\Bbb N}$ es una secuencia de conjuntos contables, y $f_i\colon A_i\to\Bbb N$ es una inyección, a continuación, $\bigcup A_i$ es contable. Esto se debe a que están dadas las inyecciones en $\Bbb N$.
Sin embargo, en el caso general, uno tiene que elegir el tipo de infiltración (a menudo un bijection). Estas inyecciones no son definibles por el que podemos escribir algunos (tal vez muy compleja) fórmula testigos de su existencia, y, de hecho, sin el axioma de elección es posible que haya una familia de contables (o incluso finito) conjuntos de cuya unión no es contable-exactamente, porque no podemos elegir las inyecciones de una manera uniforme.
Por otro lado, cuando nos tomamos el producto $A\times B$ sólo tenemos que tomar decisiones, $f\colon A\to\Bbb N$ $g\colon B\to\Bbb N$ - dos inyecciones - que es seguramente posible sin el axioma de elección. Y ya sabemos cómo encontrar un bijection entre el $\Bbb N$ $\Bbb{N\times N}$ en un muy definidos, de modo que es suficiente.
El principal problema aquí es que cuando tomamos productos, o incluso los sindicatos, de infinidad de juegos, que a menudo necesitan cierta uniformidad en la forma en que el fin de estos conjuntos (bien de orden, o de otra manera). El axioma de elección permite probar que existe uniformidad, porque podemos elegir un orden para cada conjunto; pero sin el axioma de elección es a veces el caso de que se nos puede acabar en un universo en que tal uniformidad no existe, es decir, sin alguna forma de que el axioma de elección (o de una forma más débil) no podemos demostrar una declaración en particular.
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