¿Cómo resolver este desafiante límite?

Question

Yo creo que más que una respuesta puede ser correcta. Pensé acerca de esto por un tiempo y me siento como que hay una simplificación que hace que se vea mucho más fácil, pero no puedo averiguar qué es.

Me di cuenta de que cada término dentro de un límite se multiplica, así que pensé que algunos términos pueden dividir pero dividiendo $(x+n)$ por $(x^2+n^2)$ realmente no parecen conducir a cualquier tipo de simplificaciones.

Pensé acerca de multiplicar todo en la parte superior y la parte inferior de la expresión interna, pero que de nuevo parece no ir a ninguna parte y se vuelve muy desordenado y complicado sin reducciones o simplificaciones.

Ya que pregunto a tomar la derivada en una de las opciones de respuesta, que seguramente hay algunas simplificaciones para que este problema sea mucho más fácil.

$\mathbf 46.$ Deje $\displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty} \left( \frac {\displaystyle n^n (x+n) \left(x+\frac n2\right) \ldots \left(x+\frac nn\right)} {\displaystyle n! (x^2+n^2) \left(x^2+\frac{n^2}4\right) \ldots \left(x^2+\frac{n^2}{n^2}\right)}\right)^{\dfrac xn}$, para todos los $x>0$. Entonces

(A) $f \left(\dfrac12\right) \geq f(1)$

(B) $f \left(\dfrac13\right) \leq f \left(\dfrac23\right)$

(C) $f'(2) \leq 0$

(D) $\dfrac {f'(3)}{f(3)} \geq \dfrac {f'(2)}{f(2)}$

Answer 1

\begin{align} \log f(x) &=\log\left(\frac{n^n}{n!}\prod_{k=1}^n\frac{x+\frac nk}{x^2+\frac{n^2}{k^2}}\right)^{\frac xn}\\ &=\frac xn\log\left(\frac{n!n^{2n}}{n!n^{2n}}\prod_{k=1}^n\frac{\frac{kx}n+1}{\left(\frac{kx}n\right)^2+1}\right)\\ &=\frac xn\sum_{k=1}^n\log\frac{\frac{kx}n+1}{\left(\frac{kx}n\right)^2+1}\\ &\xrightarrow{n\to\infty}\int_0^x\log\frac{t+1}{t^2+1}\mathrm dt \end{align} (Editar) en consecuencia, $f(x)>0$ por cada $x>0$, $$\frac{f'(x)}{f(x)}=\log\frac{x+1}{x^2+1} \begin{cases} >0&0<x<1\\ =0&x=1\\ <0&x>1 \end{casos}$$ Por lo tanto $f$ es el aumento de $0<x<1$, por lo tanto (a) es falsa, (B) es verdadera, (C) es verdadera y (D) es equivalente a $$\log\frac{4}{10}\ge\log\frac{3}{5}$$ lo cual es falso.