Pequeñas oscilaciones de una cuerda pesada

Question

Estoy resolviendo un problema en teoría de campos clásica y tengo algunas dificultades. Estoy tratando de estudiar pequeñas oscilaciones de un cable pesado con puntos fijos.

En primer lugar, escribí este Lagrangiano:

$$S=\int dt ds \left[\frac{\rho}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\rho g y(s,t)+\frac{\lambda(s,t)}{2}\left(\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2-1\right)\right]$$

Este Lagrangiano describe un cable pesado con extremos fijos en un campo gravitacional. Donde $\rho$ es la densidad, $g$ es aceleración gravitatoria, $s$ es el parámetro natural.

Así que tengo 3 ecuaciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

$$\rho\ddot{x}+\frac{d}{ds}\left(\lambda(s,t)\frac{\partial x}{\partial s }\right)=0$$ $$\rho\ddot{y}+\frac{d}{ds}\left(\lambda(s,t)\frac{\partial y}{\partial s }\right)+\rho g=0$$ $$\left(\frac{\partial x}{\partial s }\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s }\right)^2=1$$

Después de eso encontré una solución estacionaria ($\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial \lambda}{\partial t}=0$). (Simplemente puse $\ddot{x}=\ddot{y}=0$)

$$y_0(x)=-\frac{C_1}{\rho g}\cosh\left(\frac{\rho g x}{C_1}+C_2\right)$$

Donde $C_1,C_2$ son constantes de integración (dependen de las posiciones de los extremos del cable). Y $\cosh(x)$ es el coseno hiperbólico.

Para estudiar pequeñas oscilaciones, intenté usar teoría de perturbaciones.

Entonces, puse $$y(s,t)=y_0(s)+\bar{y}(s,t)$$ $$x(s,t)=x_0(s)+\bar{x}(s,t)$$ $$\lambda(s,t)=\lambda_0(s)+\bar{\lambda}(s,t)$$

Pero después de eso obtengo ecuaciones diferenciales difíciles que no puedo resolver.

Quizás alguien conozca un enfoque más simple para resolver este problema o sepa cómo resolverlo de esta manera.

Answer 1

También estuve involucrado en este problema en las últimas semanas. Puedes escribir la ley de Newton del movimiento para un pequeño segmento de cuerda y obtener una ecuación diferencial. A partir de esa ecuación puedes encontrar los modos normales de la cuerda y el movimiento general de la cuerda se da por una superposición de los modos normales. Pero yo ignoré las oscilaciones longitudinales y consideré solo el movimiento transversal. La solución estaba en términos de la función de Bessel de orden cero.

Answer 2

Aquí está un enlace que explica cómo hacerlo. Necesitas expandir el Lagrangiano alrededor de la solución estacionaria. Eso debería darte un conjunto más fácil de ecuaciones diferenciales para la pequeña perturbación. Espero que esto ayude.