Las topologías con esta propiedad son precisamente las que se derivan de las particiones del conjunto subyacente $X$.
Específicamente, deje $\mathcal{P}=\{X_i\}_{i\in I}$ ser una partición de $X$, y deje $\tau$ ser la colección de conjuntos de la forma $\cup_{i\in I_0}X_i$ para $I_0\subseteq I$. A continuación, $\tau$ es una topología: es el conjunto vacío corresponde a $I_0=\varnothing$, la $X$ a $I_0=I$; la unión de estos conjuntos le corresponde a la familia indizada por la unión de los índices, y la intersección la intersección de los índices. Por otra parte, el complemento de la serie correspondiente a $I_0$ es el conjunto correspondiente a $I-I_0$. Por lo tanto, $\tau$ tiene la propiedad deseada.
Ahora vamos a $\tau$ ser cualquier topología en $X$ con la propiedad deseada. Definir una relación de equivalencia en $X$ dejando $x\sim y$ si y sólo si para cada a$A\in \tau$, $x\in A$ si y sólo si $y\in A$. Trivialmente, esta es una relación de equivalencia, y por lo induce una partición en $X$. Yo reclamo que $\tau$ es, de hecho, la topología inducida por esta partición como el anterior.
De hecho, si $A\in \tau$, a continuación, $A=\cup_{x\in A}[x]$, donde $[x]$ es la clase de equivalencia de a$x$. Trivialmente $A$ está contenida en el lado derecho, y si $y\in[x]$, entonces a partir de la $x\in A$ entonces $y\in A$, por lo que tenemos la igualdad.
Ahora, por el contrario, vamos a $x\in X$ y mirar a $[x]$. Yo reclamo que $X-[x]$ se encuentra en $\tau$. Para ver esto, vamos a $z\in X-[x]$. Entonces a partir de la $z\notin [x]$, existe un conjunto abierto $A_z\in \tau$ tal que $z\in A_z$ pero $x\notin A_z$ (y, por tanto, $[x]\cap A_z=\varnothing$). Ahora, $\cup_{z\notin[x]}A_z$ es un conjunto abierto, contiene todos los elementos de a$X-[x]$, y se intersecta $[x]$ trivial debido a que cada elemento en la unión. Es decir, este conjunto abierto es $A-[x]$; pero, puesto que el complemento de cada conjunto abierto es abierto, y $A-[x]$ está abierta, $[x]$ está abierto. Por lo tanto, $[x]\in\tau$.
Hemos probado que cada elemento de la partición inducida por $\sim$ está abierto, y que todo conjunto abierto es una unión de estos elementos de la partición. Es decir, el abrir los conjuntos son precisamente las uniones de los elementos de la partición $X/\sim$.
Añadido. La relación de equivalencia dada en la segunda parte se pueden definir en cualquier topología, por supuesto; y la prueba de que todo conjunto abierto es una unión de clases de equivalencia y que el complemento de una clase de equivalencia está abierto, siempre se cumple. El único lugar donde hemos utilizado la hipótesis de que todos los abiertos conjuntos son cerrados fue la conclusión de la equivalencia de la clase en sí estaba abierta. Por ejemplo, en el estándar de la topología de $\mathbb{R}$, la relación de equivalencia es la trivial.
