Contraejemplo del teorema de convergencia monótona

Question

¿Tienes un contraejemplo para el teorema de convergencia monótona cuando omites la hipótesis de que la secuencia es creciente? Estaba pensando en el ejemplo en el que la secuencia $f_n$ se acercaría a $f$ como $\frac {\sin(x)} x$ hacer hacia $0$ . Parece que las integrales son iguales, ¿no?

https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem

Answer 1

Tome $f_n(x)=\frac{1}{n}\boldsymbol 1_{[0,n]}$ . Usted tiene que $$\lim_{n\to \infty }f_n(x)=0,$$ pero $$\lim_{n\to \infty }\int_{\mathbb R} f_n=1.$$